Тема 2. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

1. Векторы на плоскости и в пространстве. Сложение и вычитание век­торов. Умножение вектора на скаляр. Проекция вектора на ось.

2. Система декартовых прямоугольных координат в пространстве. Проекции вектора на оси координат. Направляющие косинусы вектора. Длина и координаты вектора. Действия над векторами в координатной форме.

3. Скалярное произведение векторов. Его свойства и приложение.

4. Векторное произведение двух векторов. Его свойства и приложение. Условие компланарности трех векторов.

5. Смешанное произведение трех векторов. Его свойства и приложение.

6. Различные уравнения плоскости. Уравнения прямой на плоскости и в пространстве.

7. Взаимное расположение плоскостей и прямых. Угол между плоскос­тями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

8. Расстояние от точки до прямой и плоскости.

9. Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Вывод канони­ческих уравнений.

10. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Исследова­ние формы поверхности методом сечений.

11. Векторное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис векторного пространства.

2.1. Векторы. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла  между ними:

.

Если векторы и заданы своими координатами , , то .

Угол между векторами и определяется по формуле

. (2.1)

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом и удовлетворяющий следующим условиям:

а) , б) ,

в) векторы , , образуют правую тройку векторов.

Модуль векторного произведения равен площади S параллело­грамма, построенного на векторах и :

. (2.2)

В координатной форме векторное произведение находится по формуле

.

Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор . Обозначается смешанное произведение .

В векторной форме смешанное произведение находят по формуле

.

Модуль смешанного произведения равен объему V параллелепипеда, построенного на векторах :

. (2.3)

2.2. Плоскость и прямая в пространстве

Нормальным вектором плоскости называется всякий (отличный от нуля) вектор, перпендикулярный к этой плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и имеющее нормальный вектор , в декартовых координатах имеет вид:

или , (2.4)

где .

Уравнение (2.4) называют общим уравнением плоскости.

Если все коэффициенты уравнения (2.4) отличны от нуля, то его можно преобразовать к виду

, (2.5)

где – величины отрезков, отсекаемых на коорди­натных осях. Уравнение (2.5) называется уравнением плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , , , имеет вид

. (2.6)

Направляющим вектором прямой называется вектор, лежащий на прямой или параллельный ей.

Пусть – направляющий вектор прямой, точка принадлежит прямой. Тогда уравнения прямой вида

(2.7)

называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Пусть даны две точки и , лежащие на прямой.

Уравнения вида

(2.8)

называют уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки.

Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле

. (2.9)

Пример 2.1. Даны координаты вершин пирамиды , , , . Требуется найти: а) длину ребра ; б) угол между ребрами и ; в) площадь грани ; г) объем пирамиды; д) уравнение прямой ; е) уравнение плоскости ; ж) угол между ребром и гранью ; и) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение. а) Длину ребра определяем по формуле

,

где . В нашем случае . Тогда .

б) Угол между ребрами и находим как угол между векторами и по формуле (2.1): . Имеем , находим .

Тогда

.

в) Площадь грани вычисляем как площадь треугольника, построенного на векторах , (формула (2.2)): . Имеем , ,

г) Объем пирамиды найдем по формуле (2.3): .

Имеем .

Отсюда (ед³).

д) Уравнения прямой найдем по формуле (2.8):

или .

е) Уравнение плоскости определяем по формуле (2.6):

или .

Отсюда

,

ж) Угол между ребром и гранью находим как угол между прямой и плоскостью по формуле (2.9). В нашем случае . Тогда

.

з) Уравнение высоты, опущенной из вершины на грань , определяем как уравнение прямой, проходящей через перпендикулярно плоскости . Уравнение плоскости : . Тогда имеем . По формуле (2.7) получаем .

Задание 3. Даны координаты , , , вершин пирамиды. Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) угол между ребром и гранью ; 4) пло­щадь грани ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) уравнение плоскости , проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины на грань и вершину пирамиды; 8) расстояние от вершины до плоскости .

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

3.16.

3.17.

3.18.

3.19.

3.20.

3.21.

3.22.

3.23.

3.24.

3.25.

3.26.

3.27.

3.28.

3.29.

3.30.