§6. Дифференцирование сложной функции

1.Производная сложной функции

Теорема 1. Если функция t=(x) дифференцируема в точке х₀, а функция y=f(t) дифференцируема в точке , то сложная функция y=f((x)) дифференцируема в точке х_0, и для производной в этой точке имеет место формула:

(1)

(кратко: ).

Доказательство.

По условию - сложная функция, непрерывная в точке х₀. Следовательно, она определена в некоторой окрестности точки х₀ V(х₀).

Придадим точке х₀ приращение : . Тогда функция t=(x) получит приращение . Но тогда и функция y=f(t) в точке получит приращение . По условию y=f(t) дифференцируема в , значит, её приращение можно представить в виде:

, (2)

где .

Переменной х₀ мы дали приращение . В этом случае приращение функции (x) может быть равно 0. Если , то и равенство (2) не теряет смысла.

Обе части (2) разделим на .

. (3)

Пусть . Т.к. t=(x) дифференцируема в точке х₀, то . Т.к. (x) дифференцируема в точке х₀ , то она непрерывна в точке х₀, т.е. . Значит, правая часть (3) имеет предел при , равный

.

Следовательно, существует и левой части: .

И выполнено

.

Замечание. , где , .

2. Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма дифференциала

I. Пусть y=f(x), где х – независимая переменная, дифференцируема в точке х. Следовательно, существует , , т.к. х – независимая переменная.

, (1)

. (2)

Таким образом, если х – независимая переменная, то имеем две формулы записи дифференциала (1) и (2).

II. Пусть y=f(x), а x=g(t), т.е. y=f(g(t)), где t – независимая переменная. Если g(t) дифференцируема в точке t, а y=f(x) дифференцируема в соответствующей точке x=g(t), то сложная функция f(g(t)) дифференцируема в точке t. Т.к. t – независимая переменная, то дифференциал можно записать в виде: . Тогда по теореме о производной сложной функции

, т.к. .

Итак, . Получили формулу записи дифференциала, совпадающую с (2). Следовательно, формула (2) инвариантна (неизменна).

Т.е. дифференциал функции y=f(x) записывается в форме (2) не зависимо от того, является ли х независимой переменной или функцией от какого–то аргумента.

Если x=g(t), то . Следовательно, форма (1) для дифференциала сложной функции не подходит.

§7. Дифференцирование обратной функции

Теорема. Пусть y=f(x) непрерывна и монотонна в V(х₀) и дифференцируема в точке х₀, её производная . Тогда в V(y₀), где определена обратная функция , дифференцируемая в точке y₀ и для её производной в этой точке справедливо:

(1)

или .

Доказательство.

Т.к. f строго монотонна и непрерывна в V(х₀), то в V(y₀) определена обратная функция, также непрерывная и монотонная. Докажем, что обратная функция дифференцируема в точке y₀ и справедливо (1).

Возьмём . Значению y₀ аргумента обратной функции придадим приращение . Тогда обратная функция получит приращение .

Т.к. , то . Действительно, допустим противное: . Тогда . Т.к. - монотонная функция, то отсюда следует, что . Следовательно, - противоречит условию .

Можно записать:

(2)

Пусть . Тогда в силу непрерывности обратной функции её приращение . По условию . Следовательно, существует правой части (2): . Тогда существует и предел левой части при (а, значит, и ):

.

Переходя в равенстве (2) к , получим (1).

Замечание. Если и в V(х₀) , то . Если , то .