Математичні моделі росту чисельності популяції
Основоположником математичних популяційних моделей прийнято вважати Т.Мальтуса, що працював наприкінці 18-го століття. Закон Мальтуса, що визначає експонентний ріст популяції, має сенс лише на обмежених тимчасових інтервалах. Моделі, запропоновані надалі, стали описувати стабілізацію, що спостерігається часто в природі, чисельності популяції, наприклад, за рахунок вунутрішньої конкуренції (модель Ферх’юльста). Наступним великим кроком вважається моделювання взаємодії двох і більш видів, почате в 20-х роках нашого сторіччя роботами А. Лоттки і В.Вольтерра.
Усі процеси в співтовариствах живих об'єктів відбуваються в часі й у просторі. У ряді випадків можна вважати, що у всіх частинах розглянутого об’єму процеси синхронні. У цьому випадку найпростіші точкові моделі описуються системою диференціальних рівнянь:
де xi - чисельність i-ї популяції (кінетичні рівняння).
Величини F (х1, х2, ..., хn) - нелінійні функції. Як правило, вони складаються з декількох доданків. Позитивні члени описують прибуток компонента, негативні - його збиток.
Розглянемо три математичні моделі, що дозволяють знайти залежність зміни чисельності популяції від часу для різних умов функціонування системи.
I. Модель природного росту чисельності популяції (модель Мальтуса)
Створення моделі проведемо за вищеописаною схемою.
Реальна система: є деяка популяція одного виду (мікроорганізми, зайці і т.п.), у якій відбуваються життєві процеси у всьому їхньому різноманітті.
Постановка задачі. Знайти закони зміни чисельності популяції в часі.
Основні допущення.
Існують тільки процеси розмноження і природної загибелі, швидкості яких пропорційні чисельності особин у даний момент часу.
Не враховуємо біохімічні, фізіологічні процеси.
Немає боротьби між особинами за місце проживання, за їжу (нескінченно великий простір і кількість їжі).
4. Розглядаємо тільки одну популяцію, немає хижаків.
Модель.
Уведемо величини:
x - чисельність популяції в момент t;
R - швидкість розмноження, - коефіцієнт розмноження;
S - швидкість природної загибелі, - коефіцієнт природної загибелі;
dx/dt - швидкість зміни чисельності популяції, - коефіцієнт росту.
Тоді R = x, S = -σx.
Складемо диференціальне рівняння балансу. Зміна чисельності особин в одиницю часу визначається кількістю породжених за цей час і померлих:
або
(8.1)
Початкова умова: при t = 0 чисельність особин x = x0.
Вирішимо рівняння:
звідси
x
= x0
et
(8.2)
Аналіз рішення.
а) < 0 (при > ), тобто швидкість загибелі більше швидкості розмноження. Чисельність особин згодом упаде до нуля (мал. 8.1а);
б) > 0 (при > ), тобто швидкість розмноження більше швидкості загибелі. Чисельність особин необмежено росте згодом (мал. 8.16);
в) = 0 (при = ), тобто швидкість загибелі дорівнює швидкості розмноження. Чисельність особин не змінюється, залишаючись на початковому рівні.
Модель при > 0 адекватна реальності лише до визначених значень часу. Відповідно до даної моделі, що розглядає зменшення чисельності особин тільки за рахунок природної загибелі, їхня чисельність повинна нескінченно зростати згодом (мал. 8.16), що не відповідає реальності. При великій кількості особин можливе зменшення їхньої чисельності за рахунок інших механізмів, наприклад, за рахунок боротьби за місце проживання, за їжу.