Лабораторная работа № 2 Обратная задача магниторазведки для сложного объекта (без применения параметра регуляризации)

Напомним, что под обратной задачей магниторазведки понимается процесс, нацеленный на определение параметров «возмущающего» объекта, (глубины, радиуса, мощности, угла падения, угла намагничения, магнитной восприимчивости объекта) или только части этих параметров, по известному распределению магнитного поля над этим объектом.

Решение обратной задачи следует осуществить для двух случаев:

- интерпретируемое поле не осложнено случайной помехой;

- интерпретируемое поле осложнено случайной помехой;

Решение обратной задачи для магнитного поля, не осложненного помехой

В данной лабораторной работе следует определить значения магнитной восприимчивости всех 15 шаров, входящих в состав «возмущающего» объекта (рис.1). В качестве исходных значений вертикальной составляющей магнитного поля - Z и известных параметров петрофизической модели, нужно использовать данные первой лабораторной работы, неизвестными или искомыми величинами считать значения магнитной восприимчивости всех 15 шаров.

Решение поставленной задачи следует осуществлять с учетом следующих условий. Первое, пусть нам известно распределение магнитного поля вдоль профиля на n=20 пикетах. Второе, предположим, что нам также известны (например, по данным бурения) все геометрические параметры объектов, т.е. глубины и радиусы всех 15 шаров, а также, что они имеют вертикальное намагничение, а центры шаров расположенных в вертикальном «пласте» проецируются в одну точку. В качестве искомых (неизвестных) оценок объекта будем считать значения магнитной восприимчивости – χ_j, всех 15 шаров.

Тогда, в этом случае, учитывая принцип суперпозиции и то, что магнитное поле является потенциальным, мы можем записать систему линейных уравнений вида:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2.1)

где, Z_i – значение магнитного поля на i-ом пикете, i = 1…..n, n=20; a_i.j – коэффициенты матрицы-плана - А, правило их вычислений будет рассмотрено отдельно; χ_j – вектор искомых оценок (значения магнитной восприимчивости), j=1…..k, k=15.

Для вычисления коэффициентов a_i.j матрицы А следует использовать формулу (2.2), подставляя в неё все необходимые параметры (радиус-R, глубина - h, координату центра шара - x, напряженность нормального магнитного поля –H). Индексы i и j – это номер пикета и номер объекта (шара), соответственно.

, где (2.2)

Система уравнений (2.1) составлена на основе того, что поле на любом i-ом пикете – Z_i , равно сумме полей от каждого j-го объекта. Но в таком виде система линейных уравнений не имеет права на решение. Т.е. мы не можем ставить знак равенства в этих уравнениях, в связи с тем, что мы не обладаем всей полнотой информации об исследуемом объекте и некоторые детали данной петрофизической модели нам неизвестны (например, наличие других неизвестных нам намагниченных тел в нашей модели), а следовательно мы не можем учесть их влияние в данной системе уравнений. По этому в каждом уравнении системы (2.1), следует добавить некоторое значение -δ_i, которое соответствует неизвестной нам ошибке.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2.2)

Полученная система линейных уравнений (2.2) решается на основе регрессионного анализа, по методу наименьших квадратов [ ], так как количество неизвестных параметров в этой системе всегда больше числа уравнений. Не углубляясь в детали, скажем лишь, что для нахождения неизвестных значений χ₁ , χ₂ , χ₃ …. χ_k следует продифференцировать (2.2) по этим неизвестным, а производные приравнять к нулю. В результате получим систему из n нормальных уравнений.

В настоящее время наиболее распространенным является представление системы нормальных уравнений в матричной форме

χ = (A^T∙ A)^-1∙A^T∙Z , (2.3)

где А - план-матрица размерности n×k, Z – n-мерный вектор наблюденного магнитного поля; χ – вектор искомых оценок, значений магнитной восприимчивости, его размерность k; A^T- транспонированная матрица А.

Отметим что, выражение (A^T∙A) входящее в состав (2.3) называется информационной матрицей Фишера [ ]. Эта матрица – квадратная, анализ которой дает много полезной информации о структуре задачи, (A^T∙ A)^-1 обратная ей матрица.

В результате вычислений по (2.3) будут получены данные в виде вектор столбца из 15 значений, соответствующих магнитной восприимчивости 15 шаров.

С целью оценки точности, нахождения неизвестных значений магнитной восприимчивости следует провести их сравнение с истинными значениями таковых, с помощью вычисления среднеквадратической ошибки - ε, по формуле:

, (2.4)

где, χ_j - рассчитанные, а χ_ист,j – истинные значения магнитной восприимчивости, их величины приведены в первой лабораторной работе, таблица 1.

Значение среднеквадратической ошибки в данном случае не должно быть большим, так как для решения обратной задачи используется магнитное поле без помех, а с другой стороны так подобраны данные. Справедливости ради следует отметить, что даже и в этом случае решение может получиться не приемлемым или вообще отсутствовать, что связано с плохой обусловленностью (вырожденностью) матрицы А.

Решение обратной задачи для магнитного поля, осложненного помехой

Для геологических объектов характеризующихся градиентным магнитным полем, инструктивная точность съемки обычно составляет от 3-5 до 10%. Значение точности наземных магниторазведочных работ определяется по результатам контрольных наблюдений. Например, ошибка в «установке» магнитометра, при рядовой и контрольной съемке, на том или ином пикете в 20-30 см или его ориентировке, в высокоградиентных магнитных полях вызывает значительное расхождение в измеряемых величинах.

Учитывая эту и другие причины, можно вполне обосновано изменить значения интерпретируемого магнитного поля Z в пределах ±(0-5)%, на каждом пикете. По этому, выполняя вторую часть лабораторной работы, необходимо изменить случайным образом значения магнитного поля на всех 20 пикетах в пределах ±(0-5)%. С целью ясности обозначить новые значения магнитного поля с помехой через Z1.Значения вектора Z1 сохранить, он будет использоваться в следующей лабораторной работе. Процедуру внесения помехи в интерпретируемое поле Z в MachCad можно реализовать с помощью генератора случайных чисел-RND.

Для новой реализации поля Z1, вычислить χ – вектор искомых оценок значений магнитной восприимчивости, используя выражение (2.2). В этом случае, что бы ни путать результаты вычислений, χ можно обозначить, например, как χ1.

Для определения точности, нахождения неизвестных значений магнитной восприимчивости рассчитать среднеквадратическую ошибку – ε1, используя формулу (2.4). Значение среднеквадратической ошибки в данном случае должно быть значительно больше, так как в этом случае мы использовали магнитное поле, осложненное помехой.

Провести анализ полученных результатов вычислений и дать им объяснения, а именно почему небольшие изменения исходных на ± 3-5% (интерпретируемого поля-Z), вызывают весьма значительные изменения конечного результата -χ.