Теорема о нормальном векторе прямой. Вектор с координатами является нормальным для прямой с уравнением на плоскости .
Доказательство. Пусть точки и лежат на прямой (см. рис. 2.4), это означает, что
и
.
Вычтем из первого уравнения второе, получим:
.
Следовательно, скалярное произведение
,
поэтому
и
(см. рис. 2.4).
Пример
5. Найдем
нормальный вектор для прямой
,
для этого приведем уравнение прямой к
общему виду:
.
Отсюда
.
Следствие
1. Косинус
угла
между прямыми
и
с
нормальными векторами
и
находится по формуле:
.
M0
M1 L
Рис. 3.4
Следствие 2. Эти прямые перпендикулярны только в том случае, когда
Следствие 3. Эти прямые параллельны только в том случае, когда
.
Если же
,
то прямые и совпадают (Эти равенства здесь понимаются в смысле пропорций, т.е. в числителе и знаменателе дробей могут находиться нули).
Доказательство этих следствий получаются из того факта, что угол между прямыми совпадает с углом между их нормальными векторами и (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами) (см. рис. 3.5).
Пример 6. Найдем угол между прямыми
и
.
Здесь
,
и
,
следовательно, эти прямые перпендикулярны.
L2
L1
Рис. 3.5.
Пусть прямая проходит через точку перпендикулярно вектору
,
тогда ее уравнение имеет вид:
.
Это уравнение называется уравнением прямой с нормальным вектором.
Поскольку
коэффициенты при
и
уравнения равны координатам нормального
вектора и при подстановке в уравнение
вместо
и
значений
и
получается верное равенство, то указанное
уравнение удовлетворяет требуемым
условиям.
Пример
7. Дана прямая
и точка
.
Запишем уравнения прямых
и
,
проходящих через точку
,
где
||
,
а
.
Пусть , – нормальные векторы прямых , .
Поскольку
||
,
то можно положить
.
Запишем уравнение прямой с этим нормальным
вектором, проходящей через точку
,
получим уравнение
:
Поскольку
,
то
||
,
следовательно, вектор
является направляющим для
и ее уравнение есть:
Пусть прямая не проходит через начало координат и пересекает оси и
в точках с координатами соответственно
и
.
Тогда уравнение этой прямой имеет вид:
.
Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках (см. рис. 3.6).
Y
O X
Рис.3.6.
Проверьте самостоятельно то, что эта прямая проходит через указанные точки. Это уравнение используется для быстрого определения положения прямой на плоскости.
Пример
8. Приведем
уравнение прямой
к виду в отрезках:
Следовательно,
и прямая пересекает ось
в точке с этой координатой, она пересекает
ось
в точке с координатой
.
Пусть прямая не проходит через начало координат, и расстояние от точки
до
равна
,
и пусть
-
единичный нормальный вектор, проведенный
из точки
в направлении прямой,
и
– его направляющие косинусы (см. рис.
3.7).
N
M
X
O L
Рис. 3.7.
Пусть
–
проекция точки
на
,
и
–
произвольная точка на этой прямой.
Тогда
.
Окончательно получаем, что
.
Это уравнение называется нормальным уравнением прямой.
Обратим
внимание, что здесь свободный член –
уравнения всегда отрицателен, а
,
т.к.
– единичный вектор.
Поэтому,
чтобы из общего уравнения прямой
получить ее нормальное уравнение,
необходимо умножить его на число
,
где знак
берется противоположным знаку С.
Пример
9. Запишем
нормальное уравнение прямой
.
Здесь
.
Умножив уравнение на это число, получим:
,
что есть нормальное уравнение этой прямой.
Здесь
,
;
.
Теорема.
Расстояние от
точки
до прямой
определяется формулой:
.
Доказательство.
Пусть
–
есть проекция точки
на прямую
(см. рис. 2.8).
Тогда
Если прямая задана своим общим уравнением, то его предварительно необходимо умножить на . Отсюда получаем следующее следствие.
Следствие.
Расстояние
от точки
до прямой
определяется формулой
.
Пример
10. Расстояние
от точки
до прямой
равно:
.
Y
N
M1
M0
O X
Рис.3.8.
Определение.
Величина
называется отклонением
точки
от прямой
.
Из
доказательства последней теоремы
следует, что прямая
разбивает всю плоскость
на две полуплоскости, в одной из которых
положительно и совпадает с расстоянием
,
а в другой
отрицательно и
.
Пример
11. Проверить,
пересекает ли отрезок
,
где
,
прямую
.
Отклонение
точки
от
равно:
.
Отклонение точки от равно:
.
Оба этих отклонения положительны, поэтому точки и лежат по одну сторону от , и отрезок прямую не пересекает.