1.2. Прямоугольная декартова система координат
Введем в пространстве три взаимно перпендикулярные направленные прямые (оси) Ox, Oy и Oz, проходящие через общую точку О (рис. 1.5). Эти оси назовем осями координат, а точку О – началом координат или центром системы координат. Плоскости xOy, xOz и yOz будем называть координатными плоскостями.
Д
ля
данной системы координат введем отрезок
единичной длины, при помощи которого
измеряются длины всех остальных отрезков.
Пусть
А
– произвольная точка трехмерного
пространства. Вектор
будем называть радиус-вектором точки
А.
Числовые проекции вектора
на оси координат x
= ax
(абсцисса), y
= ay
(ордината), z
= az
(аппликата) будем называть прямоугольными
декартовыми координатами (или просто
координатами) точки А.
Очевидно,
что для любой точки трехмерного
пространства существует взаимно-однозначное
соответствие между этой точкой, ее
радиус-вектором и тройкой чисел –
координат этой точки. Для каждой точки
ее радиус-вектор записывают в виде
,
а координаты точки записывают так:
.
Очевидно,
что два радиус-вектора
и
равны тогда и только тогда, когда
одновременно ax
= bx,
ay
= by,
az
= bz.
Справедливы следующие выражения:
Введем
вдоль каждой координатной оси единичные
векторы
которые будем называть ортами координатных
осей. Эти орты имеют следующие координаты:
Тогда вектор
можно записать в следующем виде:
Если ввести углы между радиус-вектором и координатными осями, то получим:
.
Косинусы соответствующих углов называются направляющими косинусами радиус-вектора . Очевидно, что
Вводится понятие ориентации прямоугольной системы координат. Говорят, что система координат правая, если для наблюдателя, находящегося вдоль направления оси Oz, кратчайший поворот от оси Ox к оси Oy осуществляется против часовой стрелки. В противном случае система координат называется левой.
Про правую и левую системы координат говорят как о противоположно направленных системах координат. Очевидно, что вращение как жесткого целого определенным образом ориентированной системы координат никогда не приведет к изменению ее ориентации.
Рассмотрим 2 системы координат xOy и XO’Y, приведенные на рис. 1.6. Система координат XO’Y получена путем параллельного переноса
Пример. Известно, что углы между вектором и осями координат Ox и Oz составляют = 450 и = 1200 соответственно. Найти координаты этого вектора при условии, что его длина равна 2.
Решение. Найдем угол g между вектором и осью Oz.
Теперь находим координаты вектора .
Таким
образом:
.
Пример.
Даны векторы
и
.
Найти векторы
и
.
Решение.
1.3. Скалярное произведение векторов
С
калярным
произведением векторов
и
,
обозначаемым
,
называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла между
ними (рис. 1.6):
.
С учетом введенного ранее понятия проекции вектора можно записать также:
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1.
2.
3.
4.
Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом вектора:
Очевидно, что для ортов координатных осей справедливо:
Пусть даны два вектора и . Тогда:
Для скалярного квадрата вектора получим:
и тогда для длины вектора:
Расстояние между двумя точками А и В с радиус-векторами и определяется выражением:
Для косинуса угла между векторами справедливо следующее выражение:
Векторы и являются коллинеарными если выполняется условие:
Условие перпендикулярности векторов записывается так:
Пример.
Найти скалярное произведение векторов
и
и угол между ними.
Решение. Сначала найдем скалярное произведение:
Теперь вычислим длины векторов:
И, наконец, определим угол между ними:
Пример. Даны координаты вектора : ax = 1, ay = 2. Найти az, если известно, что длина вектора равна 3.
Решение. Имеем:
Тогда
Пример.
Даны три точки
Найти периметр
Решение. Найдем длины сторон треугольника.
Тогда
периметр
Пример.
Даны три вектора:
,
и
.
Вычислить:
.
Решение.
Отсюда
