4.3. Основы теории нечетких множеств

Значения лингвистической переменной (ЛП) определяются через так называе­мые нечеткие множества (НМ), которые в свою очередь определены на некото­ром базовом наборе значении или базовой числовой шкале, имеющей размер­ность. Каждое значение ЛП определяется как нечеткое множество (например, НМ «низкий рост»). Нечеткое множество определяется через некоторую базовую шкалу В и функцию принадлежности НМ  (х), , принимающую значения на интервале [0...1]. Таким образом, нечеткое множество В  это совокупность пар вида (х, (х)), где х В. Часто встречается и такая запись:

,

где х_i  i-e значение базовой шкалы.

Функция принадлежности определяет субъективную степень уверенности экс­перта в том, что данное конкретное значение базовой шкалы соответствует опре­деляемому НМ. Эту функцию не стоит путать с вероятностью, носящей объек­тивный характер и подчиняющейся другим математическим зависимостям. Например, для двух экспертов определение НМ «высокая» для ЛП «цена автомо­биля» в условных единицах может существенно отличаться в зависимости от их социального и финансового положения [1].

«Высокая_цена_автомобиля_1»={50000/1+ 25000/0.8 + 10000/0.6 + 5000/0,4}.

«Высокая_цена_автомобиля_2» = {25000/1 + 10000/0.8 + 5000/0.7 + 3000/0.4}

Пример 4.1

Пусть перед нами стоит задача интерпретации значений ЛП «возраст», таких как «мо­лодой» возраст, «преклонный» возраст или «переходный» возраст. Определим «воз­раст» как ЛП (рис. 4.1). Тогда «молодой», «преклонный», «переходный» будут значе­ниями этой лингвистической переменной. Более полно, базовый набор значений ЛП «возраст» следующий:

В = {младенческий, детский, юный, молодой, зрелый, преклонный, старческий}.

Рис. 4.1. Лингвистическая переменная «возраст» и нечеткие множества,

определяющие ее значения

Для ЛП «возраст» базовая шкала  это числовая шкала от 0 до 120, обозначающая ко­личество прожитых лет, а функция принадлежности определяет, насколько мы увере­ны в том, что данное количество лет можно отнести к данной категории возраста. На рис. 4.2 отражено, как одни и те же значения базовой шкалы могут участвовать в опре­делении различных НМ[1].

Рис. 4.2. Формирование нечетких множеств

Например, определить значение НМ «младенческий возраст» можно так:

Рисунок 4.3 иллюстрирует оценку НМ неким усредненным экспертом, который ребен­ка до полугода с высокой степенью уверенности относит к младенцам (m = 1). Дети до четырех лет причисляются к младенцам тоже, но с меньшей степенью уверенности (0.5< m <0.9), а в десять лет ребенка называют так только в очень редких случаях, например, для девяностолетней бабушки и 15 лет может считаться младенчеством. Та­ким образом, нечеткие множества позволяют при определении понятия учитывать субъективные мнения отдельных индивидуумов.

Рис. 4.3. График функции принадлежности к нечеткому множеству

«младенческий возраст»