4. Парабола, ее каноническое уравнение Вывод уравнения параболы

Определение 10.4. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

О сь Ох проведем через фокус F перпендикулярно директрисе . Расстояние от фокуса до директрисы обозначим через р – параметр параболы. Начало координат выберем так (рис. 10.9), чтобы координаты фокуса были , а уравнение директрисы х = – .

Из произвольной точки параболы M(x, y) опустим перпендикуляр на директрису и соединим точку M с фокусом F. По определению |MF| = |MN|. Выразим это равенство в координатной форме:

.

Освободимся от радикала, возведя обе части полученного уравнения во вторую степень:

, или .

Отсюда, приводя подобные, получаем каноническое уравнение параболы:

у² = 2рх. (10.5)

Исследование формы параболы

1. Симметрия. Так как в уравнение (10.5) у входит только в четной степени, то ось абсцисс является осью симметрии параболы. Ось симметрии параболы называется фокальной осью.

2. Вершина параболы. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной. Вершиной является начало координат, так как при у = 0 и х = 0.

3. Парабола лежит справа от оси Оу, т.к. левая часть уравнения неотрицательна и, следовательно, х не может быть отрицательным.

4. С увеличением х абсолютная величина у также неограниченно возрастает.

5. При перемене местами х и у парабола будет симметрична относительно оси Оу: х² = 2ру.

Расстояние от любой точки параболы М до фокуса F называется фокальным радиус-вектором. Величина r = |MF|, но по определению параболы |MF| =

= |MN| = |x + |, значит r = x + .

Вопросы на понимание основных понятий:

1. Что называется гиперболой?

2. Какое уравнение называется каноническим уравнением гиперболы?

3. Что называется параболой?

4. Какое уравнение называется каноническим уравнением параболы?

5. Применение свойств кривых второго порядка в технике

П арабола обладает важным, так называемым оптическим свойством. Представим себе зеркало, в любом осевом сечении которого получается парабола (рис. 10.10). Можно доказать, что если в фокусе параболы F поместить источник света (электромагнитного излучения), то лучи, отражаясь от такого зеркала, будут идти параллельным пучком.

Это свойство параболы нашло широкое применение в военной технике радиосвязи, космонавтике, военном деле при сооружении так называемых параболических антенн радиоприемных и передающих устройств, ретрансляторов, радиолокаторов, телевизионных антенн, радиотелескопов, прожекторов.

Планеты Солнечной системы вращаются по эллиптическим орбитам, при этом Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Большинство искусственных спутников Земли также описывают эллипсы (рис. 10.11).

Н абольшее удаление от земной поверхности на такой орбите называется апогеем траектории, наименьшее – перигеем.

Спутники связи, как правило, вращаются по так называемым геостационарным траекториям. Высота их круговой траектории и скорость рассчитываются таким образом, чтобы период обращения спутника точно совпадал с периодом вращения Земли (сутки). В таком случае спутник как бы "висит" над одной и той же точкой поверхности.

Осевое сечение реактивного двигателя имеет форму, близкую к гиперболе (рис. 10.12).

П оток раскаленных газов, образующихся при сгорании ракетного топлива, сначала имеет дозвуковую скорость, V < M. Попав в сужающуюся часть двигателя, в соответствии с законами газовой динамики, частицы газа разгоняются до околозвуковой скорости. В районе самой узкой части двигателя ("критическое сечение") происходит скачкообразное увеличение скорости раскаленного газа, сопровождающееся "шумным" выделением энергии (поэтому мы слышим "рев" ракетного двигателя). Здесь скорость частиц газа становится сверхзвуковой.

Пройдя это сечение, частицы попадают в расширяющуюся часть двигателя. По законам физики поток газа, двигающийся со сверхзвуковой скоростью, в расширяющейся части двигателя продолжает набирать скорость, поэтому на выходе V > M.

Таким образом, на данной лекции были рассмотрены уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы и их свойства.

Повторить основные понятия:

1. Окружность, ее каноническое уравнение;

2. Эллипс, его каноническое уравнение;

3. Гипербола, ее каноническое уравнение, асимптоты;

4. Парабола, ее каноническое уравнение.