Вопрос 1.9 Сложение гармонических колебаний. Биения

Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических коле-

баниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой.

Сложение колебаний будем проводить методом векторных диа-

грамм (рисунок 2.2). Пусть колебания заданы уравнениями

cos(ω φ ) 1 = 1 + 1 x A t и cos(ω φ ) 2 = 2 + 2 x A t . (2.2.1)

Такие два колебания называются когерентными. Их разность фаз

не зависит от времени ( const φ2 −φ1 = ).

Рисунок 2.2

Отложим из точки О вектор A1

r под углом φ1 к опорной линии, и

вектор A2

r под углом φ2. Оба вектора вращаются против часовой стрел-

ки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому разность фаз φ2 −φ1

всегда постоянна.

Нам известно, что суммарная проекция вектора A

равна сумме проекций на эту же ось. Поэтому результирующее колебание может 19

Из уравнения (2.2.6) следует, что cons A ≠ t, а будет изменяться в

соответствии с величиной cos(φ φ ) 2 − 1 . Поэтому, при сложении некоге-

рентных колебаний, не имеет смысла говорить о сложении амплитуд,

но, в некоторых случаях, наблюдаются вполне определенные законо-

мерности. Для практики особый интерес представляет случай, когда два

складываемых колебания одинакового направления мало отличаются по

частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с

периодически изменяющейся амплитудой.

Вопрос 1.10 Сложение взаимноперпендикуляных колебаний.Фигуры Лиссажу(частные случаи)

Вопрос 1.11 Свободные затухающие мех.колебания

Вопрос 1.12 Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания .

Вопрос 1.13 Вынужденные механические колебания

Рассмотрим систему, на которую кроме упругой силы (-kx) и сил сопротивления (-rv) действует добавочная периодическая силаF – вынуждающая сила. Для колебаний вдоль оси x запишем:

– основное уравнение колебательного процесса, или:

,

где - вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону:

.

Через некоторое время после начала действия вынуждающей силыколебания системы будут совершаться с частотой вынуждающей силы, ω. Уравнение установившихся вынужденных колебаний

Введем обозначения:

- амплитуда ускорения;

- амплитуда скорости;

- амплитуда смещения;

-амплитуда вынуждающей силы;

причем

Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения векторов:

Из рисунка видно:

.

Найдем амплитуду А.

При постоянных , m и β – амплитуда зависит только от соотношения круговых частот вынуждающей силы ω исвободных незатухающих колебаний системы .

Начальную фазу вынужденных колебанийможно найти из выражения:

Из рисунка видно, что сила опережает смещение на угол, который определяется из выражения:

\

Проанализируем выражение (3.3.7).

1. ω = 0 (частота вынуждающей силы равна нулю)

– статическая амплитуда, колебания не совершаются.

2. β = 0 (затухания нет). С увеличением ω (но при ω <ω0), амплитуда растет ипри ω = ω0 , амплитуда резко возрастает ( А→∞). Это явление называется –резонанс.

3. β ≠ 0. Амплитуда будет максимальна при минимальном значении

знаменателя. - резонансная частота.

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к называется резонансом.

С увеличением коэффициента затухания β явление резонанса проявляется все слабее и исчезает при .