10 Тема: Дифференцирование функции. Глоссарий

№ п/п	Новые понятия	Содержание
1	Производная функции в точке	Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при : .
2.	Основные правила дифференцирования	где с- постоянное число где с- постоянное число
3.	Производные основных элементарных функций	, где - действительное число; , > 0, , 5. 6. 7. 9. , 11.
4.	Производная сложной функции	Если где тогда
5.	Производная обратной функции	Если , а - обратная функция, то
6.	Производная функции, заданной параметрическими уравнениями	Если то
7.	Дифференциал функции	где
8.	Экономический смысл производной	Производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.
9.	Формула Лагранжа	, где a<c<b
10.	Правило Лопиталя	если и или и

Неявно заданная функция

Под неявнъм заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(х; у) = 0, не разрешенного относительно у. Если неявная функция задана уравнением F(х; у) = 0, то для нахо-

ждения производной от-у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у’. Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию .

ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продиффернцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

11Тема: Производные высших порядков. Дифференциал функции.

Производные высших порядков явно заданной функции

Производная (х) функции у = f(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ‚ (х) дифференцируема, то ее производная называется

производной второго порядка и обозначается у^// (или

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у“(х),

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n— 1) порядка:

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=f(х) имеет в точке х отличную от нуля производную

. Тогда, по теореме о связи функции, ее предела

и бесконечно малой функции, можно записать

при или + .

Таким образом, приращение функции у представляет собой сумму

двух слагаемых ‚ (х) и , являющихся бесконечно малыми при

Поэтому первое слагаемое ‚ называют главной частью приращения функции

Дифференциалом функции –y= (х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df (х)):

dy= (24.1)

Дифференциал dy называют также дифференцалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у = х.

Так как = = 1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy= dx = т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx=

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

dy= (24.2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.