Методические рекомендации к выполнению практических работ

В методических рекомендациях к выполнению практических работ приведены типовые задачи с их подробным решением по дисциплине «Линейная алгебра». Методические рекомендации знакомят читателя с примерным решением приведенных задач и их правильным оформлением. Может использоваться преподавателями при проведении практических занятий, при подготовке к контрольным работам, для подготовки заданий для оценки текущей и итоговой успеваемости студентов.

Методические указания будут полезны для организации самостоятельной работы студентов.

Предназначены для студентов всех специальностей и направлений всех форм обучения.

Уравнения с разделяющимися переменными

 

Самым простым примером уравнения первого порядка является уравнение с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение  , допускающее запись в виде , а также уравнение в дифференциалах, которое можно записать в форме называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Предполагается, что функция   определена и непрерывна на отрезке  , а функция   определена и непрерывна на отрезке  . Для решения такого уравнения надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только   в другую – только  ,  а затем проинтегрировать обе части.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее   и   могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.

Пример 1. Решить уравнение  .

Решение

Проведем следующие преобразования:

 

Для разделения переменных делим левую и правую части полученного уравнения на  :

Интегрируем:

Заметим, что   при  . Нетрудно проверить, что  y=1  - решение заданного уравнения. Итак, решениями данного уравнения являются функции

Существуют типы дифференциальных уравнений, которые линейной заменой переменных можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными.

Рассмотрим уравнение вида

 

где a,b,c - постоянные. Заметим, что при b=0 или a=0 данное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. Если   и  то, вводя новую функцию    уравнение  сведем к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 2. Решить уравнение 

Решение

Сделаем замену переменной:  . Тогда исходное уравнение примет следующий вид:

.

Разделяя переменные, будем иметь:

.

Решение уравнения можно выписать и в явном виде. Для этого потенцируем полученное соотношение:

где  . Раскрывая модуль, получим  . Заметим, что при делении на  было потеряно решение  . Объединяя полученные результаты, запишем решение уравнения в виде:  

.

Возвращаясь к исходным переменным, получим ответ:

.

Однородные уравнения

Функция   называется однородной степени  , если для всех    выполняется равенство  .

Уравнение   называется однородным, если правая часть   является однородной функцией своих аргументов нулевой степени однородности.  Однородные уравнения всегда могут быть представлены в виде

.

Предполагаем, что функция  определена и непрерывна на интервале  и на этом интервале функция   не обращается в нуль.

Уравнение   также является однородным, если  однородные функции одной и той же степени однородности.

Однородные уравнения решаются посредством замены переменных:

.

Произведя такую подстановку, для новой неизвестной функции t(x) получаем уравнение

.

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить уравнение  .

Решение

Преобразуем данное уравнение:

.

Это уравнение является однородным и решается заменой  . Тогда , , и следовательно,

Таким образом, исходное уравнение привели к уравнению с разделяющимися переменными:

.

Это же уравнение можно записать в виде:

,

интегрируем левую и правую части, получаем:

Возвращаясь к старым переменным, получим 

.

Заметим, что при делении на x и t мы потеряли решения  . В итоге получаем ответ

  .

К однородным уравнениям приводятся уравнения вида:

,

где   является непрерывной функцией своего аргумента.

Чтобы решить данное уравнение нужно совершить перенос начала координат в точку пересечения прямых

 .

Если прямые не пересекаются, то в этом случае  уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены  .

Пример 2. Решить уравнение  .

Решение

Совершим перенос начала координат в точку x=1, y=2 пересечения прямых

.

Совершая замену

,

приходим к уравнению  , которое является однородным и решается посредством замены   .

Действительно, в результате такой замены мы имеем уравнение 

,

интегрируя которое, находим

.

После возвращения к исходным переменным, получаем , следовательно, общим интегралом исходного уравнения является функция: .

При делении на   могли быть потеряны решения   что равносильно .

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что эти функции являются решениями. В итоге получаем ответ  .

Пример 3. Решить уравнение  .

Решение

Поскольку прямые

,

не пересекаются, то сделаем замену  , тогда  . В результате, исходное уравнение примет вид:

 ,

или, что тоже самое

.

Общий интеграл данного уравнения есть

 .

Перейдя к старым переменным, имеем   .

Уравнение вида    называется обобщенно-однородным, если существует такая постоянная   , что после замены   оно становится однородным. Рассмотрим пример.

Пример 4. Решить уравнение  .

Решение

Сделаем замену  , тогда,

.

Требуем, чтобы выполнялись равенства

.

Очевидно, что  . Таким образом, в результате замены

исходное уравнение примет вид

.

Далее, необходимо сделать замену  , тогда получим уравнение с разделяющимися переменными вида

 ,

интегрируя которое находим

.

Заметим, что было потеряно решение  . Переходя к старым переменным, в итоге получаем ответ

.