Средних горизонтальных напряжения к вертикальным от глубины:

● Австралия, ▼ Канада, ▲ США, ○ Скандинавские страны,

■ Южная Африка, □ другие районы

5.3 Модуль упругости при сложном напряженном состоянии

При простом напряженном состоянии (рис.1) модуль упругости Е определяется опытным путем. Продольная относительная деформация рассчитывается по формуле:

,

где

– напряжение сжатия или растяжения.

Поперечная относительная деформация рассчитывается по формуле:

,

где

μ – коэффициент Пуассона.

При сложном напряженном состоянии (см. рис. 14) вертикальная относительная деформация

.

Если принять

,

то после преобразования получим

.

Выразим через объемный модуль упругости Е₀, а именно:

.

Приравнивая правые части выражений для , получим выражение модуля упругости при сложном напряженном состоянии Е₀ через модуль упругости при простом напряженном состоянии Е:

.

5.4. Напряженное состояние пород

около одиночной горной выработки

5.4.1. Вертикальный ствол круглой формы

При отсутствии тектонических сил до проходки ствола напряжения в массиве составляют (рис. 17.а):

• вертикальные ;

• горизонтальные .

Рис.17. Напряженное состояние пород

около круглого вертикального ствола:

а – до проходки выработки; б – после проходки выработки;

в – эпюра напряжений после проходки выработки

После проходки ствола при упругом состоянии пород в горизонтальной плоскости 1-1 возникают напряжения (рис. 17.б):

.

На стенке ствола (r = a) получим:

.

Вне зоны влияния ствола (r = ) получим:

.

Эпюра напряжений приведена на рис. 18.в.

Если сопротивление породы на сдвиге K < Q, радиус разрушения породы у ствола составит (см. рис. 18.в),

,

толщина разрушенной зоны: .

5.4.2. Горизонтальная выработка круглой формы

Пусть до проведения выработки в породном массиве имеются напряжения

(рис. 18,а): вертикальные – Р;

горизонтальные – Q.

После проведения выработки напряжения в зоне ее влияния составят:

;

;

.

Рис. 18. Напряженное состояние пород

Около круглой горизонтальной выработки:

а – схема напряжений; б – контур предельных касательных напряжений

На контуре выработки (r = a) получим:

;

;

.

Определим место на контуре выработки, в котором будет наибольшим.

Из условия

,

получим:

.

Откуда θ = 0 и 180⁰ (точки А на рис. 18.а).

Следовательно,

.

Минимальные нормальные напряжения располагаются на перпендикулярных площадках, т.е. при θ = 90° или 270° (точки на рис. 19.а), причем

.

При μ = 0,25

и, следовательно,

.

Таким образом, при μ > 0,25 на всем контуре выработки имеют место сжимающие напряжения. При μ < 0,25 в верхней и в нижней части выработки возникают растягивающие напряжения ( ).

Контур разрушающих касательных напряжений в верхней части выработки представлен на рис. 18.б. Из рис. 18.б видно, что зона разрушенных пород имеет сводообразную форму. Радиус зоны разрушения можно определить по формуле

,

где

К – временное сопротивление порода сдвигу.

Как будет показано ниже, разрушение породы идет не по линии главных касательных напряжений при θ = 45°, а под углом

,

где

φ – угол внутреннего трения породы.

Поэтому фактический контур разрушенных пород будет значительно меньше, чем показано на рис. 18.б.