4. Применение обработки регрессия для определения параметров модели множественной линейной регрессии и её исследования

Построение и исследование модели множественной линейной регрессии является достаточно трудоёмкой процедурой. Трудоёмкость вычислений можно существенно снизить с помощью применения в MS Excel обработки Сервис/Анализ данных/РЕГРЕССИЯ.

Рассмотрим возможности использования обработки РЕГРЕССИЯ на данных примера из п.3.2. Данные для факторной переменной x3 мы использовать не будем, поскольку x3 была удалена из рассмотрения в результате проверки факторных переменных на мультиколлениарность. После вызова обработки РЕГРЕССИЯ зададим в соответствующих окнах диапазон ячеек, в которых находятся данные для Y вместе с заголовком столбца, диапазон ячеек, в которых находятся данные для факторных переменных x1, x2 также с заголовками столбцов, поставим флажок Метки (указывает, что в первой строке диапазонов стоят названия столбцов), зададим начальную ячейку для выходного интервала, поставим флажок Остатки. После выполнения обработки в ячейках, расположенных ниже и правее ячейки, указанной нами как начальная ячейка выходного интервала будут расположены результаты. Результаты обработки группируются в 4 таблицы. Если при вызове обработки мы дополнительно поставим флажок График остатков, то будут выданы графики остатков, по горизонтальной оси которых будут отложены значения одной из факторных переменных, а по вертикальной – значения ряда остатков ε_i. Число графиков будет совпадать с числом факторных переменных. Рассмотрим полученные результаты.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,9540
R-квадрат	0,9102
Нормированный R-квадрат	0,8653
Стандартная ошибка	6,2635
Наблюдения	7
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	1590,289	795,144	20,268	0,008
Остаток	4	156,926	39,231
Итого	6	1747,214
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-14,042	6,284	-2,235	0,089	-31,489	3,404
X1	1,359	0,327	4,155	0,014	0,451	2,267
X2	0,197	0,316	0,624	0,566	-0,680	1,075
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	E отн
1	-3,301	5,301	265,06
2	3,494	0,006	0,17
3	10,290	-5,290	105,79
4	17,085	-5,085	42,38
5	23,881	-1,881	8,55
6	31,662	8,338	20,84
7	43,390	-1,390	3,31

Во-первых, в колонке Коэффициенты третьей таблицы возьмём значения параметров множественной модели линейной регрессии. Уравнение модели имеет вид:

.

В колонке t–статистика этой же таблицы находятся t-статистики для коэффициентов уравнения регрессии. Если возьмём при α=0,1 критическое значение t_кр(0,1; 7-2-1)=2,13, то получим, что модули первых двух параметров превышают критической значение, а модуль третьего параметра нет. Таким образом значения а₀=-14,04 и а₁=1,36 следует признать значимыми, а значение а₂=0,2 – незначимым. Следует отметить, что для определения значимости коэффициентов не обязательно определять критическое значение t-статистики. Достаточно сравнить соответствующие значение колонки P-Значение с выбранным уровнем значимости α и, если оно меньше чем α, то соответствующий параметр можно признать значимым. У нас получилось 0,089 < 0,1 и 0,014 < 0,1, то есть первые два параметра можно признать значимыми с вероятностью 90%, а 0,566 > 0,1, то есть третий параметр значимым не является, то есть наценку можно исключить из рассмотрения в рамках данной модели.

В первой таблице приведено значение коэффициента детерминации R-квадрат = 0,9102. Следовательно, можно сделать вывод, что в рамках линейной модели множественной регрессии изменение объёма продаж на 91% объясняется изменением температуры воздуха и торговой наценки.

В колонке F третьей таблицы приведено значение F-статистики Фишера равное 20,268. Для оценки значимости уравнения регрессии в целом сравним его с критическим значением F_кр(0,1; 2; 7-2-1) = 4,32. Поскольку F-статистика больше критического значения можно сделать вывод о значимости уравнения в целом. Этот же вывод можно сделать без определения критического значения F_кр путём сравнения значения из следующей колонки третьей таблицы Значимость F, равное 0,008, с выбранным уровнем значимости α = 0,1 (для возможности сделать вывод о значимости уравнения в целом это значение не должно превышать выбранный уровень значимости).

Для определения средней ошибки аппроксимации можно воспользоваться имеющимся в четвёртой таблице рядом остатков ε_i (колонка Остатки). Однако, потребуются дополнительные вычисления. Указанную таблицу следует дополнить колонкой , где Y_i – ряд наблюдений переменной Y (в учебных задачах задан в условии) и вычислить среднее значение для этой колонке. В результате получим:

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	E отн
1	-3,301	5,301	265,06
2	3,494	0,006	0,17
3	10,290	-5,290	105,79
4	17,085	-5,085	42,38
5	23,881	-1,881	8,55
6	31,662	8,338	20,84
7	43,390	-1,390	3,31
			63,73	E отн.ср.

Модуль вычисляется с помощью функции ABS. Мы получили E отн.ср. = 63,73%, что значительно превышает 15%, следовательно, точность модели неудовлетворительная, и её не рекомендуется использовать для прогнозирования.

Заметим, что в первой таблице итоговых результатов имеется значение стандартной ошибки оценки, которое необходимо при построении интервального прогноза, а в последней четвёртой таблице имеется ряд расчётных значений исследуемого признака Ypi (колонка Предсказанное Y).