Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Формула Пуассона
Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 70 раз в 200 независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,3.
Решение
Число испытаний: n = 200.
Число появлений события A: m = 70.
Вероятность появления события A: p = 0,3, значит q = 1 – p = 0,7.
Величина npq = 200∙0,3∙0,7 = 42.
Так как npq > 20, то можно воспользоваться приближенным равенством из локальной теоремы Муавра-Лапласа:
По таблице значений функций Гаусса (приложение 1) находим:
Тогда:
Ответ:
Вероятность появления события A в каждом из 200 независимых испытаниях постоянна и равна 0,3. Найти вероятность того, что событие A появится не более 70 раз.
Решение
Число испытаний: n = 200.
Вероятность появления события A: p = 0,3, значит q = 1 – p = 0,7.
Величина npq = 200∙0,3∙0,7 = 42.
Так как npq > 20, то можно воспользоваться приближенным равенством из интегральной теоремы Муавра-Лапласа:
,
где
Необходимо найти вероятность того, что событие A появится не более 70 раз, а это значит, что число появлений события A принадлежит промежутку [0; 70], то есть m1 = 0, m2 = 70.
По таблице значений функций Лапласа (приложение 2) находим:
Ответ:
Проведено 300 независимых испытаний с вероятностью появления события A в каждом из них 0,01. Найти вероятность того, что событие A появится точно 1 раз.
Решение
Число испытаний велико: n = 300.
Вероятность появления события A в каждом из них мала: p = 0,01.
Произведение λ = np = 300∙0,01 = 3 меньше 10, значит можно искомую вероятность найти по формуле Пуассона:
Необходимо найти вероятность того, что событие A появится точно 1 раз, значит m = 1:
Значение
можно вычислить в MS Excel,
если ввести в любую ячейку формулу
=Exp(–3) и нажать
Enter.
Ответ:
Задания для контрольной работы
1. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Варианты 1-10 (N – номер варианта)
В урне N белых и (25 – N) черных шаров. Из урны последовательно достают два шара. Найти вероятность того, что:
1) шары будут разных цветов, если шары возвращают в урну;
2) шары будут одинакового цвета, если шары не возвращают в урну;
3) хотя бы один шар будет белым, если шары не возвращают в урну.
Варианты 11-20 (N – номер варианта)
В урне (N – 6) белых и (31 – N) черных шаров. Из урны последовательно достают все шары. Найти вероятность того, что
1) третьим по порядку будет вынут белый шар;
2) из первых трех шаров хотя бы один будет белым шаром.
Варианты 21-30 (N – номер варианта)
В урне (N – 16) белых и 5 черных шаров и (36 – N) красных шаров. Три из них вынимаются наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут разноцветными при условии: а) шары возвращаются в урну; б) шары не возвращаются в урну.
2. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Варианты 1-10 (N – номер варианта)
Имеются три одинаковые с виду урны. В первой N белых шаров и (25 – N) черных шаров; во второй урне (20 – N) белых и (N + 5) черных; в третьей только белые шары. Из наугад выбранной урны достают один шар. Какова вероятность, что этот шар белый?
Варианты 11-20 (N – номер варианта)
Имеются две урны: в первой (N – 5) белых шаров и (30 – N) черных шаров; во второй урне (21 – N) белых и (N + 4) черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны достают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
Варианты 21-30 (N – номер варианта)
Имеются три урны: в первой (N – 15) белых шаров и (35 – N) черных шаров; во второй урне (40 – N) белых и (N – 20) черных; в третьей – N белых шаров (черных нет). Из наугад выбранной урны достали один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что шар достали из первой урны.