Формула для вычисления

Уравнение (7.2) определяет , но неудобно для вычислений. Теперь мы найдём выражение, более удобное для вычисления . Начнём с

. (7.3)

Заметьте, что 1 / (n – 1) можно выделить в качестве сомножителя из двух членов знаменателя уравнения (7.3) ( из каждого члена) и сократить с 1 / (n – 1) в числителе. Напоминаем также, что члены знаменателя уравнения (7.3) можно объединить под знаком радикала.

. (7.4)

Простые преобразования приводят к следующей формуле для :

, (7.5)

которую можно ещё более упростить, образуя расчётную формулу

. (7.6)

Пример вычисления

Для иллюстрации вычисления по уравнениям (7.5) и (7.6) здесь будут использованы некоторые данные теста на определение общих и специальных способностей. Исследователь изучает связь двух типов умственных способностей учеников неполной средней школы: абстрактное мышление и вербальное мышление. Разработаны два теста: для измерения склонности к абстрактному мышлению (Х) и к вербальному мышлению (Y). Оба теста были предложены 40 школьникам младшего класса неполной средней школы в одном городе штата Иллинойс с 30 000 жителей. Результаты 40 учащихся представлены в табл. 7.2. В каждом тесте было 50 вопросов, а результатом служило число правильных ответов. Диаграмма рассеивания двумерных данных (поле корреляции) табл. 7.2 представлена на рис. 7.2. В табл. 7.3 приводятся промежуточные и окончательные вычисления по формулам (7.5) и (7.6).

Таблица 7.2

Исходные оценки по тесту, состоящему из 50 вопросов и измеряющему способность к абстрактному и вербальному мышлению у 40 школьников неполной средней школы в Иллинойсе

Ученики	Х Абстрактное мышление	Y Вербальное мышление	Ученики	Х Абстрактное мышление	Y Вербальное мышление
1 Линда Дж. 2 Пегги И. 3 Диана Л. 4 Констанция Л. 5 Уильям П. 6 Роджер Д. 7 Каролина Е. 8 Труди Р. 9 Питер А. 10 Дэвид Е. 11 Черил Дж. 12 Джорджия С. 13 Ирма Дж. 14 Рональд Л. 15 Памела Дж. 16 Эдвард Б. 17 Роза Л. 18 Карина М. 19 Роджер У. 20 Ричард Т.	19 32 33 44 28 35 39 39 44 44 24 37 29 40 42 32 48 43 33 47	17 7 17 28 27 31 20 17 35 43 10 28 13 43 45 24 45 26 16 26	21 Мартин Т. 22 Шерон Л. 23 Юлия Е. 24 Натали Дж. 25 Мериджин К. 26 Ларри Н. 27 Майкл Б. 28 Карлин М. 29 Скотт С. 30 Зигрид К. 31 Жан У. 32 Роджер Б. 33 Ричард Х. 34 Бонита Дж. 35 Рекс Н. 36 Ричард С. 37 Морис Д. 38 Уоррен У. 39 Джек Дж. 40 Стенли Л.	38 25 35 22 40 42 41 41 37 30 31 41 42 24 43 36 39 39 39 48	30 18 26 17 17 26 16 37 26 21 16 37 37 14 41 19 18 39 37 47

Таблица 7.3

Пример вычисления по данным таблицы 7.2

Промежуточные вычисления	Окончательные вычисления
n = 40	Уравнение (7.5): Уравнение (7.6):

Окончательные вычисления в правой части табл. 7.3 приводят к = 0,67 и по уравнению (7.5) и по уравнению (7.6). В пределах ошибки округления обе формулы всегда дадут в результате одну и ту же величину. Таким образом, оказывается, что существует сильная прямая связь между способностями к абстрактному и вербальному мышлению, измеренная по двум тестам.

Рис. 7.2 – Диаграмма рассеивания 40 пар результатов теста из табл. 7.2