1. Сау в разомкнутом виде

Управляющее воздействие u(t) = W₁(p) x(t)

Выходной сигнал y(t) = W₂(p) u(t) + W_f(p) f(t)

где W_f(p) – передаточная функция объекта по помехе

Окончательно y(t) = W₁(p) W₂(p) x(t) + W_f(p) f(t) = W(p) x(t) + W_f(p) f(t)

где W(p) = W₁(p) W₂(p) – передаточная функция САУ в разомкнутом виде

2. Сау в замкнутом виде

Уравнение замыкания (t) = x(t) – y(t)

Выходной сигнал y(t) = [W(p) / 1+W(p)] x(t) + [W_f(p) / 1+W(p)] f(t) = Ф(p) x(t) + Ф_f(p) f(t)

где Ф(p) = W(p) / 1+W(p) – передаточная функция замкнутой САУ

Ф_f(p) = W_f(p) / 1+W(p) – передаточная функция замкнутой САУ по помехе

Сигнал ошибки (t) = [1 / 1+W(p)] x(t) - [W_f(p) / 1+W(p)] f(t) = Ф_(p) x(t) - Ф_f(p) f(t)

где Ф_ (p) = 1 / 1+W(p) = 1 - Ф(p) – передаточная функция замкнутой САУ по ошибке

Выражение 1+W(p) = 0 характеристическое уравнение САУ

Законы управления

Закон управления – функциональная зависимость в соответствии с которой регулятор формирует управляющее воздействие.

u(t) = F((t), x(t), f(t)) = F₁((t)) + F₂(x(t)) + F₃(f(t))

F₁((t)) – управление по отклонению (ошибке)

F₂(x(t)); F₃(f(t)) - управление по внешним воздействиям

1. Управление по отклонению (ошибке) – принцип управления Уатта

2. Управление по внешним воздействиям – принцип управления Понселе

Рассмотрим самый простой случай – регулирование по отклонению:

Пусть передаточная функция объекта управления W₂(p) = k₀

1. Пропорциональный закон управления

В этом случае: :

Передаточная функция может иметь более сложный вид:

но в статическом режиме

Передаточная функция разомкнутой системы:

К - общий коэффициент усиления системы.

Если на вход системы в установившемся режиме действуют задающее воздействие x(t) = x₀, то ошибка в установившемся режиме

,

где - ошибка в статическом режиме

Таким образом, пропорциональное регулирование позволяет уменьшить ошибку в установившемся режиме в 1+К раз, при этом при любом конечном значении коэффициента усиления .

2. Интегральный закон управления

В этом случае или

Передаточная функция может иметь более сложный вид

И в статическом режиме:

Передаточная функция разомкнутой системы

Выражение для ошибки

Таким образом, при интегральном регулировании САУ в статическом режиме может иметь нулевую ошибку.

2. Дифференциальный закон управления

В этом случае или

Передаточная функция может иметь более сложный вид

И в статическом режиме:

Передаточная функция разомкнутой системы

Выражение для ошибки

Таким образом, дифференциальное управление в чистом виде не применяется.

В общем случае может использоваться пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) закон управления :

Устойчивость систем управления

Понятие устойчивости

а) y(t)→0 при t→∞, устойчивое положение шарика;

б) y(t)→∞ при t→∞, неустойчивое положение шарика;

в) y(t)=y0=const при t≥0, нейтральное или безразличное положение шарика.

Определение устойчивости по корням характеристического уравнения

Выходной сигнал системы состоит из двух составляющих: y(t) = y_B(t) + y_п(t)

где y_B(t) – вынужденная составляющая (определяется входом x(t));

y_п(t) – переходная составляющая (определяется собственной динамикой системы).

Переходная составляющая решения уравнения зависит от корней p_i характеристического уравнения: 1+W(p) = 0

В общем виде:

Возможны 3 случая:

1. Действительные корни характеристического уравнения

где p_i - корни характеристического уравнения (полюсы системы);

c_i - постоянные интегрирования.

если p_i > 0, то y_пi(t)   при t  

если p_i < 0, то y_пi(t)  0 при t  

2. Пара комплексно-сопряженных корней

где α_i±jβ_i - корни характеристического уравнения;

A_i, _i - постоянные интегрирования.

если α_i > 0, то y_пi(t)   при t  

если α_i < 0, то y_пi(t)  0 при t  

3. Чисто мнимые корни

где β_i – мнимые корни характеристического уравнения;

A_i, _i - постоянные интегрирования.

Переходная составляющая y_пi(t) имеет вид колебаний с постоянной амплитудой.

Таким образом, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части, или эти корни на плоскости комплексного переменного были расположены слева от мнимой оси.

Условие устойчивости Стодолы: необходимым (но не достаточным) условием устойчивости системы является положительность (отрицательность) всех коэффициентов характеристического уравнения.

Границы устойчивости:

• нулевой корень p_i = 0 1-го типа;

• два мнимых корня p_i = j 2-го типа;

• бесконечный корень p_i =  3-го типа.