2 Оцінка ефективності функціонування одноканальних систем масового обслуговування

2.1 Мета роботи

Оцінити залежність основних показників ефективності функціонування систем масового обслуговування (СМО) з одним сервісним центром (одноканальна) і необмеженою довжиною черги від статистичних параметрів потоку вхідних подій і параметрів сервісного центра.

2.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи

Під час підготовки до лабораторної роботи необхідно вивчити основні параметри ефективності МІС як СМО, методи графічного подання СМО, уміти складати перелік можливих становищ у СМО та визначати тип СМО за типовою класифікацією [2,5].

До основних показників ефективності функціонування МІС як СМО належить середній час очікування обслуговування однієї вимоги, середня довжина черги, середній час перебування вимоги у СМО.

Ці величини залежать від інтенсивності й закону розподілу часу появи подій – вимог на вході СМО й закону розподілу ймовірності довжини інтервалу часу, що необхідний для обслуговування однієї вимоги.

У загальному випадку вид закону розподілу часу надходження вимог у СМО може бути будь-яким. Наприклад, детермінований потік вхідних подій означає, що кожна нова вимога надходить у СМО через наперед відомий фіксований інтервал часу Tdet. Якщо потік вхідних вимог рівномірному закону розподілу, то це означає, що час між сусідніми вимогами, що надходять на вхід СМО з однаковою ймовірністю, може приймати значення з деякого заздалегідь обраного діапазону значень від мінімуму до максимуму.

Експонентний розподіл часу надходження вхідних подій-вимог до СМО означає, що моменти часу надходження вимог на обслуговування A(t) описується залежністю

,

де t – час, – інтенсивність надходження заявок до МІС:

При нормальному розподілі моментів надходження вхідних подій-вимог необхідно знати середній час і дисперсію моментів часу надходження вимог на обслуговування в сервер.

Середній час перебування вимоги в системі є одним з важливих показників роботи СМО. З теореми Літтла середнє число заявок у системі дорівнює добутку інтенсивності надходження вимог у систему та середнього часу перебування в системі T:

.

Під час цього не накладається ніяких обмежень на розподіл вхідного потоку й часу обслуговування кожної заявки на обслуговування.

Для СМО з експонентним розподілом моментів надходження вхідних подій – вимог, з експонентним розподілом часу обслуговування вимог у єдиному сервері та з нескінченною чергою існують наступні залежності для обчислення основних параметрів.

Функція розподілу часу обслуговування заявок:

,

де t – час,  – інтенсивність обслуговування заявок у сервісному центрі чи каналі, яка дорівнює:

,

де x – середній час обслуговування заявок у сервісному центрі.

Середня довжина черги :

,

де ρ – зведена інтенсивність потоку заявок, тобто середнє число заявок, що надходять за час обслуговування однієї заявки. Чисельно зведена інтенсивність потоку заявок може бути обчислена так:

.

Середній час очікування в черзі :

.

Імовірність того, що у поточний момент часу система вільна:

.

Імовірність того, що в системі у поточний момент часу находиться n заявок на обслуговування:

,

де n – кількість заявок у системі.

Одним з найбільш прямих підходів до побудови поведінкових моделей МІС є побудова імітаційних моделей.

Імітаційні моделі будуються у вигляді програм, які можуть бути розроблені на звичайних мовах програмування або на спеціалізованих мовах і в спеціалізованому візуальному середовищі [ ]. Побудова програми імітації функціонування МІС відповідно до положень теорії масового обслуговування заснована на програмуванні ланцюжка подій, який починається від вхідних заявок на обслуговування, що надходять у випадкові моменти часу, до заняття й звільнення сервісного центру у відповідності з випадковим характером тривалості обробки кожної заявки. Підсумком роботи програми є одержання статистичних звітів про процеси в системі.

Для програмування імітаційних моделей застосовують особливі системи моделювання. Вони мають спеціальні готові модулі для компактного опису всіх основних сутностей систем, які моделюються, та можуть гнучко змінювати статистичні характеристики вхідного потоку й часу обслуговування, програмувати роботу багатоканальних систем з різними типами розподілів часу обслуговування. Одним з таких середовищ є імітаційна система загального призначення GPSS World.

2.3 Порядок виконання роботи

2.3.1 Виконання імітаційного експерименту

Вибрати з додатку А необхідний тип і параметри розподілів часу надходження вимог у СМО й обслуговування заявок єдиним сервісним центром.

Дослідити вплив параметрів заданих розподілів на основні показники ефективності функціонування СМО. У досліджуваній СМО може сформуватися нескінченна черга. Максимальне число вимог, що ввійшли в систему дорівнює 525.

Запустіть програму lab01-st.exe, використовуючи індивідуальні дані. У файлі RESULTS.TXT будуть автоматично збережені результати моделювання у вигляді, що показано на рис.2.1.

-------------------------------------------------------------------------

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

| | T I M E |

| |-----------------------------------------------------------|

| Number | inter ar | prihoda | service | finite |v ocheredy |

| | Td | Ta | Tserv | Tfin | Tq |

------------------------------------------------------------------------

1 – номер кроку, на якому відбулися зміни стану системи – Number

2 – час між надходженням сусідніх заявок – Td

3 – час надходження заявки в СМО – Ta

4 – тривалість обслуговування кожної заявки Tserv

5 – час, коли заявка після обслуговування покидає систему– Tfin

6 – тривалість перебування в черзі для кожної вимоги – Tq

Рисунок 2.1 – Структура збережених результатів моделювання

У файлі RES-TIME.TXT будуть збережені тільки моменти часу, в яких довжина черги змінилася, середній час очікування обслуговування однієї заявки й середньою довжиною черги.

Таблиця 2.1 – Структура вихідних даних

Номер	Розподіл вхідного потоку заявок		Розподіл часу обслуговування		Отримані середні характеристики
	тип	параметри	тип	параметри

Відповідно до індивідуальних даних скласти за результатами моделювання роботи СМО таблицю 2.1.

Проаналізувати отримані результати. Пояснити за яких умов склалися такі вихідні данні.

2.3.2 Порівняння з аналітичними розрахунками

Розрахувати, якщо це можливо, відповідні показники ефективності функціонування СМО аналітично та порівняти їх з результатами моделювання.

2.3.3 Графічна інтерпретація результатів моделювання

За даними з файлів RESULTS.TXT для заданого викладачем типу розподілу побудувати тимчасову діаграму моментів часу надходження заявок у систему, часу відходу заявок, які вже отримали обслуговування, і залежність довжини черги від часу (приклад на рис.2.2).

Рисунок 2.2 – Приклад часової діаграми

2.3.4 Зміна тривалості моделювання

Для дослідження залежність результатів моделювання функціонування СМО від кількості заявок n, що увійшли в СМО, треба відкрити файл lab01-st.pas та змінити у ньому величину змінної n на 250, потім на 800, а потім на 1250. Для кожного значення n використати задані викладачем типи розподілів. Зрівняти отримані результати й занести їх у таблицю 2.2.

Фрагмент програми, у якій необхідно зробити зміни.

program au;

uses wincrt;

const n=1250;

type time=array [0..n] of real;

var td,tfin,ta,tq,tserv:time;

f,f1:text;

Nq,i,k,x,da,ds,control :integer;

Tqq,Ns,aa,aserv,t,st,max,sts,maxs,norm : real;

Таблиця 2.2 – Результати моделювання

n	Розподіл вхідного потоку заявок		Розподіл часу обслуговування		Отримані середні характеристики
	тип	параметри	тип	параметри
250
525
800
1250

2.4 Зміст звіту

У звіті потрібно відобразити вхідні та вихідні данні, результати моделювання у вигляді таблиць 2.1 та 2.2, часову діаграму та аналіз отриманих результатів.

2.5 Контрольні запитання та завдання

1. Перерахуйте основні параметри функціонування одноканальної СМО. До якого типу МІС можна віднести досліджувані у лабораторній роботі МІС?

2. У якому випадку неможливо порівняти результати імітаційного моделювання з аналітичними розрахунками параметрів СМО?

3. Які особливості функціонування МІС як СМО.

4. Доведіть теорему Літтла.

5. Наведіть графічну модель одноканальної СМО з нескінченною чергою.