Основные свойства сходящихся рядов

Важнейшие свойства рядов сформулируем в виде следующих положений.

Теорема 2. Сходимость или расходимость ряда не изменится, если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда. Это почти очевидное утверждение. Отбрасывание или дописывание одного члена в ряде

(2)

не может нарушить факта сходимости или расходимости, т.е. если ряд (2) сходится, то и будет сходиться (хотя сумма изменится), а если он расходится, то он и будет расходиться. Действительно, если наряду с рядом (2) рассмотреть ряд , то его частная сумма отличается от соответствующей частной суммы ряда (2) на постоянное число u₁ и потому если одна из этих сумм стремится к пределу, то и другая тоже. Повторяя подобное отбрасывание или дописывание членов, мы придем к сформулированному выше утверждению.

Итак, произвольное изменение конечного числа членов ряда никогда не влияет на его сходимость или расходимость.

Теорема 3. Если ряд а₁ + а₂ + . . .+а_n + . . . сходится и его сумма равна S, то сходится и ряд са₁ + са₂ + . . .+са_n + . . . , причем сумма этого ряда равна с S.

Доказательство.

Пусть тогда

.

Теорема 4. Если ряды

а₁ + а₂ + . . .+а_n + . . . и b₁ + b₂ + . . .+b_n + . . .

сходятся и их суммы, соответственно, равны и , то ряды

(а₁ + b₁) + (а₂ + b₂)+. . .+(а_n + b_n)+. . . (3)

и

(а₁ – b₁) + (а₂ – b₂)+. . .+(а_n – b_n)+. . . (4)

также сходятся и их суммы, соответственно, будут равны

+ , и – .

Доказательство

Докажем сходимость ряда (3), для чего найдем его частичную сумму _n

переходя к пределу в этом равенстве при n  , получим:

.

Таким образом, ряд (3) сходится и его сумма равна + . Аналогично доказывается и сходимость ряда (4).

Итак, мы показали, что сходящиеся ряды можно почленно умножать на постоянное число, почленно складывать, почленно вычитать, в результате снова получаем сходящиеся ряды. При этом их суммы подчиняются этим же произведенным действиям.

3. Знакоположительные ряды, достаточные признаки сходимости и расходимости

Рассмотрим ряд u₁ + u₂ + . . . + u_n +. . . (5),

члены которого положительны. Сумма Sn первых n– членов образует возрастающую вместе с n последовательность:

…………………………..

Ясно, что S_n+1 = S_n + u_n+1  S_n, т.к. u_n+1 > 0.

Стало быть, проблема сходимости ряда (5) с положительными членами есть проблема сходимости возрастающей последовательности. Следовательно, можем сформулировать следующую теорему.

Теорема 5. Для того, чтобы знакоположительный ряд (5) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы частичные суммы S_n были ограничены.

Вывод: Таким образом, исследование сходимости числового ряда с положительными членами сводится к исследованию сходимости числовой последовательности.

А) Признаки сравнения

Даны два ряда с положительными членами

u₁ + u₂ + . . . + u_n +. . ., (7)

v₁ + v₂ + . . . + v_n +. . . . (8)

Теорема 6. Если члены ряда (7) не больше соответствующих членов ряда (8) и ряд (8) сходится, то и ряд (7) сходится.

Дано: u_n  v_n (n = 1, 2, 3, . . .), пусть S_n = u₁ + u₂ + . . . + u_n,

_n = v₁ + v₂ + . . . + v_n – частичные суммы рядов. Существует .

Доказать: ряд (7) сходится.

Доказательство.

Так как u_n  v_n, то S_n  _n. Тем более S_n < . Таким образом, S_n - ограниченная величина и монотонно возрастающая при возрастании n. Следовательно, S_n имеет предел , т.е ряд (7) сходится.

Теорема 7. Если члены ряда (7) не меньше соответствующих членов ряда (8) и ряд (8) расходится, то ряд (7) тоже расходится.

Доказательство.

S_n  _n. Так как _n   , то и S_n  , т.е. ряд (7) расходится.

Примеры. 1) , для сравнения выберем ряд

, т.е. . Этот ряд расходится, причем u_n > v_n, следовательно, ряд – тоже расходится.

2) . Выберем ряд с общим членом . Ряд – сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, следовательно, и ряд – сходится, т. к. u_n  v_n.

Теорема 8. Если для рядов (7) и (8) отношение стремится к некоторому конечному пределу = r > 0, то ряды (7) и (8) сходятся или расходятся одновременно.

Замечания.

1. Доказанные признаки справедливы только для рядов с положительными членами, у которых некоторые элементы могут быть равны нулю.

2. Доказанные признаки справедливы, если неравенства начинают выполняться, начиная лишь с n  N, а не для всех n = 1, 2, 3,… .