Теорема Гаусса

Для расчета электрических полей создаваемых зарядами распределенными непрерывно по некоторым поверхностям - плоскости сфере цилиндру и тд вводят физическую величину - поток вектора напряженности

обозначение Ф

единицы измерения [ ]

формула Ф = Е S Cos () (35)

Элементарным потоком вектора напряженности через малую площадку площадью S называется произведение модуля напряженности Е на площадь S и косинус угла между вектором Е и вектором нормали к площадке n Если поверхность замкнутая то выбирается внешняя нормаль к ней

Полный поток через достаточно большую поверхность равен алгебраической сумме элементарных потоков через малые площадки составляющие ее

Ф =  Фi (35)

Чтобы вычислить значение полного потока вводят еще одну величину - телесный угол

обозначение 

единицы измерения [ Ср] - стерадиан

формула  = (36)

1Ср - это телесный угол с вершиной в центре сферы вырезающий на поверхности сферы элемент площадь которого равна квадрату радиуса Тогда полный телесный угол вокруг точки равен 4 Ср

задание Покажите что полный телесный угол вокруг точки равен 4 Ср

ро

Пусть электрическое поле создается точечным зарядом qВычислим поток вектора напряженности через замкнутую произвольной формы поверхность окружающую этот заряд

Для точечного заряда Е = q / 4or

Тогда Ф = Е S Cos() = S Cos() q / 4or но как видно из рисунка S Cos() = Sо при этом площадка площадью Sо перпендикулярна радиусу Тогда получаем Ф = q / 4o    Учитывая что полный телесный угол в данном случае равен 4 получаем если точечный заряд находится внутри произвольной замкнутой поверхности то полный поток вектора напряженности через эту поверхность равен

Ф = q / o (37)

замечание Как видим из полученной формулы поток вектора напряженности не зависит ни от формы поверхности ни от того где внутри поверхности находится заряд

задание Докажите самостоятельно что если заряд находится вне замкнутой поверхности то поток вектора напряженности равен нулю

Учитывая изложенное выше можно сформулировать теорему Гаусса Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов расположенных внутри этой поверхности деленной на электрическую постоянную

задание С помощью теоремы Гаусса выведите формулы для напряженности бесконечной заряженной плоскости и заряженного цилиндра При этом учтите что

для характеристики заряда равномерно распределенного по некоторой поверхности вводят физическую величину - поверхностная плотность заряда  = (заряд приходящийся на единицу поверхности)

для характеристики заряда распределенного равномерно по некоторому объему вводят физическую величину - объемная плотность заряда  = (заряд в единице объема)