3.2. Математичний апарат міжгалузевого методу

Одним з вирішальних переваг міжгалузевого методу в порівнянні зі звичайними методами побудови й аналізу балансів виробництва і використання продукції є можливість широкого застосування математики, а отже, і сучасної обчислювальної техніки в аналітичних та прогнозних розрахунках. Це обумовлено тим, що всі основні величини міжгалузевих моделей знаходяться між собою у визначеній математичній залежності. Вона характеризується існуючими взаємозв’язками в системі економічного виробництва.

Технологічні зв’язки між напрямками діяльності вимірюються за допомогою нормативних коефіцієнтів питомих матеріальних витрат. Нормативні коефіцієнти питомих матеріальних витрат можуть бути розраховані шляхом розподілу величин міжгалузевих потоків на валову продукцію за напрямками споживання. Так, якщо 1-м напрямком є виробництво електроенергії, а 2-м – вугільна промисловість, то коефіцієнт a₁₂ прямих витрат електроенергії на одиницю продукції вугільної промисловості дорівнює: . Аналогічно можна розрахувати коефіцієнт а₂₁ питомих витрат вугілля на одиницю виробленої електроенергії: . Для будь-якої пари напрямків діяльності нормативний коефіцієнт питомих матеріальних витрат а_ij складає: . Отже, нормативний коефіцієнт питомих матеріальних витрат показує, скільки одиниць продукції i-го напрямку діяльності безпосередньо використовується як засоби виробництва на випуск одиниці продукції j-го напрямку діяльності. При i=j маємо коефіцієнт витрат власної продукції по напрямку діяльності на одиницю її валового випуску.

Нормативні коефіцієнти питомих матеріальних витрат утворюють квадратну матрицю а, що містить n рядків і n стовпчиків:

(3.8)

З формули (3.4) визначено, що X_ij = a_ij ×X_j . Таким чином, вираз (3.2) може бути поданий у такому вигляді:

.

(3.9)

Формула (3.5), що вочевидь охоплює систему з n рівнянь, є основним математичним співвідношенням як вартісних, так і натуральних балансів і служить вихідним пунктом для розрахунків при розробці балансів на перспективу.

Передбачається, що на перспективу відомі технологічні коефіцієнти a_ij. Тоді система (3.5) містить n рівнянь і 2n невідомих – валові випуски за всіма напрямками діяльності і рівні їхньої ж кінцевої продукції. Така система є невизначеною і має нескінченну безліч рішень. Для знаходження рішення системи необхідно попередньо задати довільні значення будь-яких n невідомих величин, тоді значення інших n невідомих будуть визначатися однозначно рішенням системи (3.5). Маючи на увазі економічний зміст показників системи (3.5), можна говорити про три варіанти розрахунку:

1. У моделі зафіксовані рівні фактору валового виробництва всіх напрямків діяльності (величини X_і – вони ж X_j), кінцева ж продукція (величини у_i ) визначається в результаті математичного розрахунку.

2. У моделі зафіксовано рівні фактору кінцевої продукції за всіма напрямками діяльності, а рішення системи рівнянь дає відповідні величини валової продукції, обумовлені як обсягами кінцевого випуску, так і технологічною структурою виробництва (коефіцієнтами витрат).

3. У моделі зафіксовано рівні валової продукції по окремих напрямках діяльності, по інших – кінцевого випуску (по деяких, можливо, ті й інші), так що в сумі кількість зафіксованих факторів складає n. Рішення системи дає значення інших n факторів.

Перший варіант відображає алгоритм визначенням показників на перспективу, коли на основі вивчення резервів розвитку визначаються прогнозні обсяги випуску валової продукції, а величина і секторна структура національного доходу є похідними від цього процесу показниками. Такий метод є легкоадаптованим до практичних розрахунків, він дозволяє точніше врахувати можливості капіталовкладень у ті чи інші напрямки діяльності, їх сировинні та інші ресурси, але в нього є й принципові недоліки. Ціль будь-якого економічного виробництва полягає в усе більш повному задоволенні потреб суспільства й окремих його членів, а матеріальні потреби задовольняються за рахунок росту й удосконалення структури національного доходу. Тому економічно більш виправданим є принцип визначення показників на перспетиву від національного доходу, коли на основі вивчення суспільних потреб прогнозується величина кінцевої продукції і її матеріально-речовинна структура, а як похідний показник розраховується рівень валової продукції, необхідної як для використання як засобів виробництва, так і для кінцевого споживання і нагромадження.

Другий варіант цілком обґрунтований теоретично, однак його практична реалізація є ускладненою з позиції формального математичного розрахунку. Коли по зафіксованих обсягу й структурі національного доходу будуть розраховані рівні валової продукції, вони можуть виявитися для окремих напрямків діяльності надмірно високими, незабезпеченими сукупністю виробничих ресурсів даних напрямків. При цьому по інших напрямках виявляться повністю незавантаженими діючі виробничі потужності. У такий спосіб виникає система диспропорції розвитку окремих напрямків виробництва, особливо коли більшість підприємств, що їх утворюють, здійснюють організацію виробнитцтва за принипом розподілу квот.

Третій варіант розрахунків, коли в системі (3.5) по деяких напрямках діяльності зафіксовано фактор валового випуску, по інших – кінцевий, представляється найбільш прийнятним для математичних обчислень. Валовий випуск при цьому зафіксовують по тих напрямках діяльності, що складають фундамент національного виробництва (стратегічні галузі): енергетична, паливна, металургійна промисловості. По інших же, що відіграють провідну роль у безпосередньому задоволенні потреб інституціональних одиниць і домашніх господарств, зафіксовується рівень кінцевої продукції. Розв’язок системи рівнянь міжгалузевої моделі дасть розрахований баланс виробництва валового суспільного продукту і національного доходу в розрізі всіх напрямків виробництва фізичних обсягів продукції.

У розрахунках не завжди зручно використовувати безпосередньо систему рівнянь (3.5), тому вона приводиться до такого вигляду.

Розв’яжемо цю систему відносно X. У матричному записі система рівнянь (3.5) має такий вигляд:

,

(3.10)

де X – вектор валових випусків;

У – вектор кінцевої продукції;

а – матриця нормативних коефіцієнтів питомих матеріальних витрат.

Далі отримуємо:

.

(3.11)

З огляду на те, що X = ЕХ, де Е – одинична матриця, можна записати:

.

(3.12)

Таким чином, загальний розв’язок пов’язий із оберненням такої матриці:

(3.13)

Зворотну матрицю позначимо через А, її елементи – А_ij. Тоді отримуємо:

(3.14)

Вираз (3.12) приводиться, таким чином, до вигляду:

.

(3.16)

Нами отримана система з n рівнянь, що виражають валову продукцію кожної галузі як функцію кінцевої продукції по всіх напрямках діяльності. Так, для 1-го напрямку отримуємо:

,

(3.17)

а в загальному вигляді для будь-якого напрямку діяльності:

.

(3.18)

Валова продукція виступає тут як зважена сума кількостей кінцевих продуктів, причому вагою є деякі коефіцієнти А_ij, що показують необхідну кількість виговленого продукту по i-му напрямку діяльності для кінцевого використання одиниці продукції по j-му напрямку діяльності. Так, коефіцієнт А₁₁ показує повну кількість електроенергії, що повинна бути вироблена для випуску одиниці кінцевої продукції електроенергії (цей коефіцієнт за своїм змістом не може бути меншим за одиниці). Коефіцієнт А₁₂ відображає всю необхідну величину виробництва (і витрат) електроенергії на одиницю кінцевої продукції вугільної промисловості і т.д. У цілому наведений вище вираз для Х₁ показує, яка загальна кількість електроенергії повинна бути вироблена для забезпечення заданого кінцевого випуску енергії, вугілля, металів, машин, тканин і всіх інших видів продукції виробництва фізичних обсягів продукції.

На відміну від нормативних коефіцієнтів питомих витрат а_ij коефіцієнти А_ij називаються коефіцієнтами повних матеріальних витрат. Вони містять у собі витрати всіх порядків. Ці витрати відображають кількість засобів виробництва, витрачених безпосередньо при виготовленні даного продукту, а також ті витрати, що відносяться до попередніх стадій виробництва кінцевого проукту. Наведемо приклад розрахунку коефіцієнтів повних витрат. Для трисекторної математичної моделі економічної системи є матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат і вектор кінцевої продукції:

.

(3.19)

Необхідно обчислити коефіцієнти повних витрат. Алгоритм розв’язку такий:

а) знаходимо матрицю (Е–А):

.

(3.20)

б) обчислимо визначник цієї матриці:

.

(3.21)

в) транспонуємо матрицю (Е-А):

.

(3.22)

г) знайдемо алгебраїчні доповнення для елементів матриці (ІЕ-АІ)^’:

	(3.23)
	(3.24)
	(3.25)
	(3.26)
	(3.27)
	(3.28)
	(3.29)
	(3.30)
	(3.31)

Отже, приєднана до матриці (Е-А) матриця має вигляд:

.

(3.32)

д) знаходимо матрицю повних матеріальних витрат:

.

(3.33)

Розрахуок коефіцієнтів повних витрат можна здійснити також графічним методом. Для прикладу розглянемо витрати паливно-мастильних матеріалів на вирощування озимих зернових. Прямі витрати – це та кількість паливно-мастильних матеріалів, що безпосередньо витрачено на вирощування озимих зернових. Але в процесі вирощування, крім паливно-мастильних матеріалів, витрачається насіння першої репродукції та інші засоби виробництва, а на їх випуск також потрібні витрати паливно-мастильних матералів. У свою чергу на отримання посівного матеріалу також були понесені витрати елітного насіння, і на кожній з цих стадій виробництва витрачаються паливно-мастильні матеріали, як схематично показано на рис. 3.1.

Витрати елітного насіння, паливно-мастильних матеріалів й інших засобів виробництва на вирощування насіння першої репродукції є стосовно самого насіння першої репродукції прямими витратами, а стосовно озимих зернових – непрямими витратами 1-го порядку. Витрати праці, інших засобів виробництва, а також паливно-мастильних матеріалів при вирощуванні елітного насіння є для нього прямими, для насіння першої репродукції – непрямими 1-го порядку, а для озимих зернових – непрямими витратами 2-го порядку.

Очевидно, що на цьому ланцюжок витрат не обривається: на отримання супереліти також затрачаються паливно-мастильні матеріали, що стосовно озимих зернових будуть відповідати непрямим витратам 3-го порядку, цим останнім передують свої витрати і т.д. Будується дерево витрат (рис. 3.2.).

З кожним більш високим порядком витрат їх перелік збільшується (тобто своєрідне «дерево витрат» розгалужується), тому що будь-який наступний продукт вимагає для свого виготовлення витрати щонайменше декількох видів засобів виробництва. Щоб підрахувати повні витрати одного виду продукції на одиницю іншого (наприклад, електроенергії на одиницю продукту) потрібно додати прямі витрати і непрямі витрати всіх порядків. Безпосередньо здійснити такий підрахунок неможливо, оскільки «дерево витрат» практично необмежено подовжується і розгалужується.

Правда, витрати дуже високих порядків абсолютно і відносно невеликі, тому при безпосередньому розрахунку можна обмежуватися лише декількома найближчими рядками витрат. Тоді повні витрати будуть отримані з відомим наближенням. Для j-го напрямку діяльності схема непрямих витрат наведена на рисунку 3.3.

Математичний запис непрямих витрат на виробництво j-ї продукції матиме вигляд:

.

(3.34)