Глава III

РАЗВИТИЕ У ДЕТЕЙ ПЕРВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ О МНОЖЕСТВЕ, ЧИСЛЕ И СЧЕТЕ

Задача обучения детей первоначальным математическим зна­ниям и умениям заключается в том, чтобы выделить наиболее существенные из них, которые обеспечивали бы общее развитие способностей к самостоятельному нахождению связей в усваи­ваемых знаниях и умениях.

Чтобы раскрыть существенные особенности предметов и яв­лений, показать их в разных взаимозависимостях, необходимо подвести детей к общим закономерностям.

Как же подвести детей к пониманию математических взаимо­связей и взаимозависимостей, к формированию простейших ма­тематических понятий? Когда и на каком этапе развития детей они могут быть усвоены?

В кратком историческом обзоре были раскрыты разные взгляды педагогов на то, как ребенок воспринимает число и как он овладевает счетом на начальных этапах своего развития.

Весьма распространенная прежде точка зрения симультанно­го восприятия группы, как врожденной способности, не оправ­дала себя. Ребенок действительно может опознать группу без счета, если она находится в едином поле зрения и является стан­дартной (два глаза, две руки, две йоги, пять пальцев и др.). Но при ином расположении этих же количеств данная группа не опознается детьми, например пять кукол, стоящих на столе в ряд, две чайные ложки, упавшие на пол, два окна на разных сте­нах комнаты и т. д.

Сторонники теории восприятия групп предметов, как мы ви­дели, пытались придать группе ту или иную стандартную фор­му, помогающую ее опознанию (числовые фигуры). Но в таких случаях опознавалась форма, а не количество. Необходимо было выяснить, верна ли была эта психологическая теория, ко­торая являлась основой монографического метода.

Другая психологическая теория, называемая теорией счета, исходила из иных фактов. По наблюдениям сторонников этой теории, дети, не имея никаких представлений о числах, однако рано запоминали и называли по порядку слова-числительные, иногда даже в большом объеме. Однако устно бегло «считая», они не могли определить численности предметов. Отсюда делал­ся вывод, что дети овладевают сначала смыслом порядка чисел, а не количества. Поэтому надо учить называнию числительных 54

по порядку, а затем уже соотнесению чисел с предметами. На такой точке зрения, как указывалось в главе II, стояли многие методисты XIX в., разделяющие теорию метода действий. Но по­скольку авторы имели дело лишь с детьми школьного возраста и не изучали особенности развития детей до восьми лет, они умо­зрительно полагали, что восприятие групп предметов и наиме-нозание группы числом характерно и для дошкольников.

Поэтому в советской дошкольной педагогике оставался неяс­ным целый ряд вопросов, весьма важных для разработки мето­дики обучения детей счету и числу до школы.

1. Что же такое счет: деятельность или операция? Какова его структура и как овладевают счетом маленькие дети? Является ли счетом устное называние по порядку слов-числительных?

2. Что такое число: представление или понятие? Если чис­ ло — понятие, то что является его чувственной основой и как со­ вершается у детей переход от представления к понятию числа?

3. Известно, что, пересчитывая предметы совокупности, дети приходят к числу. Какую роль в таком случае играет в опреде­ лении числа прострапстаенный фактор?

4. В каких взаимоотношениях находятся число и счет, что чему предшествует? Если это единство, а не тождество, то како­ ва структура этого единства?

На некоторые из этих вопросов мы уже можем дать ответ. Так, из истории происхождения числа и счета известно, что люди считали даже тогда, когда в их словаре не было еще никаких слов-числительных. Счет представлял собой в то время чисто практическое установление взаимно-однозначного соответствия между различными конкретными множествами (см. «Ручной счет», «Счет при помощи узлов на ремне», «Обмен товарами по принципу один к одному», «Счет при помощи зарубок» и т. д.). Что было главным в счете этого периода? Умение видеть каж­дую отдельность совокупности, не пропустить ее. А этому выде­лению во многих случаях помогало однородно повторяемое сло­во (например, у папуасов: бе-бе-бе-бе-бе = ибон-бе, т. е. рука).

Что же отражалось в сознании человека в процессе такого сравнения двух совокупностей? Равенство или неравенство чис-ленностей сопоставляемых совокупностей на основе установле­ния между ними взаимно-однозначного соответствия.

Отсюда следует вывод, что для первобытного человека пер­вичной была практическая деятельность сравнения двух сово­купностей и понимание равенства и неравенства между ними. Число же, появившееся значительно позднее, явилось продуктом практической деятельности человека с множествами. Рассмот­ренные нами стадии в развитии числа свидетельствовали о раз­вивающейся у человека потребности — все более точно определять численность совокупностей при их сопоставлении путем поэле­ментного сравнения.

56

Так постепенно сформировался и современный натуральный ряд чисел как совокупность различных классов множеств, именуемых разными числами, каждое из которых служит показа­телем своего индивидуального класса множеств (пять частей света, пять пальцев на руке, пять мерок в данной протяженности, пять мерок в исчислении времени и мн. др.). Общим для всего разнообразия привлеченных совокупностей является класс, име­нуемый числом пять. Следовательно, число есть показатель клас­са множеств, понятие класса.

Формированию этого понятия послужили представления о конкретных множествах, о действиях с ними и понимание того, что множества могут быть равными и неравными по численности.

Выводы: 1} Счет — это деятельность с присущими всякой дея­тельности признаками: наличием цели, средства — операция со-считывания и результата — в виде итогового числа как показа­теля определенного класса множеств.

2. Сущность деятельности счета состоит в том, что между элементами конкретной совокупности и членами натурального ряда чисел как стандартного множества чисел (каждое из кото­ рых является показателем определенного класса множеств) устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

3. Специфика деятельности счета заключается в том, что опе­ рации совершаются с конкретными совокупностями, т. е. с конеч­ ными множествами, воспринимаемыми различными анализато­ рами (зрительным, слуховым, осязательным и др.). Тем самым устное называние слов-числительных по порядку отнюдь не яв­ ляется деятельностью счета, поскольку отсутствует цель — пред­ мет счета (конкретные множества) и нет результата.

На протяжении многих лет оставалось неясным: как же фор­мируются первые представления о множестве? Какую роль в восприятии множества играет та или иная пространственная форма расположения множеств? Какую роль в формировании представления играют различные анализаторы? Как совершает­ся переход от представления о множестве к понятию числа как показателя класса множеств? Каково своеобразие усвоения дея­тельности счета детьми на разных возрастных этапах? Как фор­мируется у детей представление о натуральном ряде чисел?

Получить ответы на эти вопросы помогли психологические исследования, проведенные в Советском Союзе.