Обратная задача кинематики

В этом разделе рассматривается обратная задача кинематики шестизвенного манипулятора. Необходимо по заданной матрице ⁰T₆ положения и ориентации схвата шестизвенного манипулятора и известным параметрам его звеньев и сочленений определить присоединенные параметры манипулятора, обеспечивающие заданное положение схвата.

Для того, чтобы решение обратной задачи кинематики было получено в явном виде, необходимо, чтобы конструкция робота удовлетворяла одному из двух условий:

1. Оси трех смежных сочленений пересекаются в одной точке.

2. Оси трех смежных сочленений параллельны между собой.

Из равенства (4-7) видно, что матрица T является функцией синусов и косинусов углов Приравнивая элементы матриц в левой и правой частях матричного уравнения (4-7), получаем, например, для манипулятора Пума двенадцать уравнений (4-3) – (4-6) относительно шести неизвестных (присоединенных углов). Поскольку число уравнений превышает число переменных, можно сразу сделать вывод о том, что решение обратной задачи кинематики для манипулятора Пума не единственно. Мы рассмотрим два метода решения обратной задачи кинематики: метод обратных преобразований в эйлеровых координатах и геометрический подход, выгодно отличающийся наглядностью.

Геометрический подход

В этом разделе излагается геометрический подход к решению обратной задачи кинематики шестизвенного манипулятора с вращательными сочленениями типа Пума.

По аналогии с геометрией человеческой руки и в соответствии с расположением систем координат звеньев различные конфигурации манипулятора Пума определяются с помощью трех индикаторов конфигурации (РУКА, ЛОКОТЬ, ЗАПЯСТЬЕ). Два индикатора характеризуют взаимное расположение первых трех сочленений, а третий – расположение последних трех. Для шестиосных манипуляторов типа Пума существуют четыре различных решения обратной задачи кинематики первых трех сочленений и каждому из этих четырех решений соответствует по два допустимых решения для последних трех сочленений.

Решение производится в два этапа.

I этап. Cначала вычисляется вектор, направленный от плеча к запястью. Проекции этого вектора на плоскость x_i-1y_i-1 используются при нахождении присоединенного угла i-госочленения(i=1, 2, 3) для первых трех сочленений.

II этап. Использование предыдущего решения для решения последних трех сочленений, подматрицы поворота матриц ⁰Т и^i-1A_i (i=4, 5, 6) и проекции систем координат звеньев на плоскость x_i-1y_i-1.

Если задана матрица , то, умножив эту матрицу слева и справа на и соответственно, можно вычислить и затем, воспользовавшись указанным способом, получить:

= . (4-1)

Лекция 5

Динамика манипулятора

Предметом динамики манипулятора как раздела робототехники является математическое описание действующих на манипулятор сил и моментов в форме уравнений динамики движения. Также уравнения необходимы для моделирования движения манипулятора с помощью ЭВМ, при выборе законов уравнения и при оценке качества кинематической схемы и конструкции манипулятора.

Задача управления включает задачу формирования динамической модели реального манипулятора и задачу выбора законов или стратегий управления, обеспечивающих выполнение поставленных целей.

Динамическая модель манипулятора может быть построена на основе использования известных законов ньютоновой или лагранжевой механики. Результатом применения этих законов является уравнения, связывающие действующие в сочленениях силы и моменты с кинематическими характеристиками и параметрами движения звеньев.

Таким образом, уравнения динамики движения реального манипулятора могут быть получены методами Лагранжа-Эйлера или Ньютона-Эйлера. Уравнения Лагранжа-Эйлера обеспечивают строгое описание динамики манипулятора. Их можно использовать для решения прямой и обратной задачи динамики.

Прямая задача состоит в том, чтобы по заданным силам и моментам определить обобщённые ускорения, интегрирование которых позволит получить значения обобщённых координат и скоростей.

Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным обобщённым координатам, скоростям и ускорениям определить действующие в сочленениях манипулятора силы и моменты.

Для решения обеих задач, как правило, необходимо вычислить динамические коэффициенты и . Вычисление этих коэффициентов требует выполнения очень большого числа арифметических операций. В связи с этим уравнения Лагранжа-Эйлера без дополнительных упрощений практически неприменимы для управления манипулятором в реальном времени.

С целью получения более эффективных с вычислительной точки зрения алгоритмов расчёта обобщённых сил и моментов используют уравнения Ньютона-Эйлера, которые просты по содержанию, но весьма трудоёмки. Результатом является система прямых и обратных рекуррентных уравнений, последовательно применяемых к звеньям манипулятора. Это позволяет реализовать простые законы управлением манипулятора в реальном времени.