Заработная плата работников бригады

Заработная плата, руб. (xi)	2800	3200	3600	4000	4400	Итого
Число работников, чел. (fi)	2	11	5	1	1	20

Решение. Применяя формулу средней арифметической взвешенной, получаем:

= руб.

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы). Тогда формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид:

=

где – частность, то есть доля каждой частоты в общей сумме всех частот.

Если частоты подсчитывают в долях (коэффициентах), то и формула средней арифметической взвешенной имеет вид:

=

Вычисление средней арифметической интервального ряда

Иногда среднюю арифметическую величину исчисляют по данным интервального вариационного ряда (когда варианты признака, по которому определяется средняя, представлены в виде интервалов «от – до»). В этом случае в качестве значений признаков в группах принимают середины интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд.

Пример. Определить средний размер капитальных затрат на одно предприятие по следующим данным:

Исходные данные		Расчетные значения
Группы предприятий по размеру капитальных затрат, тыс.руб.	Число предприятий, f	Середина интервала, тыс.руб., х	x*f
До 3000	5	2900	14500
3000 – 3200	15	3100	46500
3200 – 3400	20	3300	66000
3400 – 3600	30	3500	105000
3600 – 3800	16	3700	59200
3800 и более	14	3900	54600
Итого	100	-	345800

Решение. Для исчисления средней в интервальном ряду необходимо прежде всего перейти от интервального ряда к дискретному путем замены интервальных значений их средними значениями (простая средняя между верхней и нижней границами каждого интервала) (см. расчет в табл., гр. 3).

Если имеются интервалы с так называемыми открытыми границами (в нашем примере первый интервал – до 3000 тыс. руб. или последний интервал – 3800 тыс. руб.), то для расчета средней условно определяют неизвестную границу интервала. Обычно в этих условиях берут значение последующего интервала (для первого) или предыдущего (для последнего).

После того как найдено среднее значение интервалов, расчет производится по средней арифметической взвешенной.

В нашем примере средний размер капитальных затрат на одно предприятие составит:

= тыс.руб.

Необходимо помнить, что средняя арифметическая интервального ряда менее точна, чем средняя арифметическая, исчисленная из конкретных вариантов, потому что при исчислении середин интервалов допускается некоторая условность.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1. Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических величин:

Если х_i = y_i + z_i, то

Это правило показывает, в каких случаях можно суммировать средние величины. Если, например, выпускаемые изделия состоят из двух деталей у и z и на изготовление каждой из них расходуется в среднем у = 3 ч, z = 5 ч, то средние затраты времени на изготовление одного изделия (х) будут равны: 3 + 5 = 8 ч. то есть х = у + z.

2. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений варьирующего признака от средней равна нулю, так как сумма отклонений в одну сторону погашается суммой отклонений в другую сторону, то есть

, потому что

Это правило показывает, что средняя является равнодействующей.

3. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число а, то средняя уменьшится или увеличится на это же число а:

=

4. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно уменьшится или увеличится в А раз:

=

5. Если все частоты ряда разделить или умножить на одно и же число с/, то средняя не изменится:

Это свойство показывает, что средняя зависит не от размеров весов, а от соотношения между ними. В качестве весов могут выступать не только абсолютные, но и относительные величины.

Средняя гармоническая

В статистической практике бывают случай, когда при вычислении средней имеются данные об индивидуальных значениях признака (х) и его общем объеме в совокупности (W = xf), но неизвестны частоты (f). В таком случае среднее значение признака вычисляется по формуле средней гармонической.

Средняя гармоническая – представляет собой величину, обратную средней арифметической из обратных значений вариант.

=

Пример. По данным таблицы требуется определить среднюю рентабельность капитала по двум акционерным обществам в целом.

№ АО	Рентабельность акционерного капитала, % (х)	Получено прибыли, тыс.руб. (W = xf)	Акционерный капитал, тыс.руб. (W/x)
1	40	6000	15000
2	35	3500	10000
Итого	-	9500	25000

Решение. Основой выбора формы средней является реальное содержание определяемого показателя:

Рентабельность, % = (Прибыль / Акционерный капитал) * 100

Средняя рентабельность равна отношению полученной предприятиями прибыли к сумме их акционерного капитала. В данном примере отсутствуют прямые данные об акционерном капитале, но его сумму можно определить косвенным путем, разделив полученную прибыль (М) на рентабельность капитала (х).

Средняя рентабельность акционерного капитала будет равна

= или 38 %.

В тех случаях, когда произведения fx одинаковы или равны единице (W=1), применяется средняя гармоническая простая, вычисляемая по формуле

=

где х – отдельные варианты; n – их число

Пример. Фактический объем реализации продукции ОАО «Лада» за месяц составил 14 млн руб. При проверке было выявлено, что объем неучтенной продукции составил 15 %. Фактический объем реализации продукции ОАО «Мир» также составил 14 млн руб., а объем выявленной в результате проверки неучтенной продукции 25 %.

Определить средний процент неучтенной продукции для обоих предприятий.

Решение. Для решения этой задачи необходимо применить формулу простой средней гармонической:

=

то есть средний процент неучтенной продукции для обоих предприятий составляет 18,8 %.

Средняя геометрическая

Средняя геометрическая равна корню степени n из произведения коэффициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего.

Средний коэффициент роста можно определить также по энным последнего и первого уровней ряда. Если первый уровень ряда обозначить у_i, а последний – у_n то

,

так как

где n – число лет, а не коэффициентов.

Приведенные формулы идентичны, но одна применяется в тех случаях, когда имеются текущие коэффициенты или темпы роста, а вторая – когда имеются абсолютные значения начального и конечного уровней ряда.

Пример. Количество зарегистрированных браков. характеризуется следующими данными:

Год	2005	2006	2007
Количество зарегистрированных браков	121	136	145

Определить средний коэффициент роста количества браков, зарегистрированных за три года.

Решение. Определим средний коэффициент роста количества браков, зарегистрированных за три года, используя формулу средней геометрической:

а) средний коэффициент динамики зарегистрированных браков, рассчитанный по абсолютным показателям ряда динамики:

, или 109,4 %

б) средний коэффициент роста количества зарегистрированных браков, рассчитанный по цепным коэффициентам роста:

, или 109,4 %,

То есть в среднем каждый год количество зарегистрированных браков прирастало на 9,4 %.

Средняя квадратическая и средняя кубическая

В экономической практике часто возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (для вычисления средней величины стороны n квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (определение средней длины стороны n кубов).

Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

Средняя квадратическая взвешенная рассчитывается как

f – веса.

Средняя кубическая простая:

Средняя кубическая взвешенная:

Средние квадратическая и кубическая имеют ограниченное применение в статистической практике. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих вариантов х, а из их отклонений от средней ( ) при расчете показателей вариации.

Структурные средние

Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые называют структурными средними. К таким показателям относятся мода и медиана. В отличие от средней арифметической и средней гармонической мода и медиана совпадают с конкретным числом, имеющимся в вариационном ряду, и не всегда совпадают со средней арифметической и средней гармонической.

Модой (Mo) называется чаще всего встречающийся вариант, или то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений.

В дискретном вариационном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой.

Пример. При обследовании 500 семей рабочих одной из отраслей промышленности установлены следующие их размеры по количеству членов семей: