Стандартная система
Чтобы не «привязываться» к конкретной структурной схеме, программы для проектирования оптимальных регуляторов обычно используют так называемую стандартную систему, где выделяют 4 типа сигналов и связанных с ними передаточных функций:
– сигнал ошибки, его нужно сделать
«минимальным»;
– измеренный сигнал обратной связи, поступающий на вход регулятора;
– внешнее возмущение;
– управляющий сигнал на выходе регулятора.
Уравнения системы (в изображениях по Лапласу) можно записать так:
Справа показано общепринятое обозначение
стандартной системы. Обратите внимание,
что в ней (формально) используется
положительная обратная связь. При
построении передаточных функций
предполагается, что регулятора в контуре
нет (цепь разорвана).
Каждый из четырех сигналов может быть
векторным, то есть, содержать несколько
компонент. Например, в рассмотренной
выше задаче стабилизации судна на курсе
требовалось ограничить сумму дисперсий
.
Ее можно представить как дисперсию
векторного сигнала
,
которая по определению равна:
.
Здесь
обозначает математическое ожидание
выражения в фигурных скобках, верхний
индекс
– операцию транспонирования. Также
учитывается, что сигналы центрированные,
поэтому математическое ожидание квадрата
сигнала равно его дисперсии.
Построим стандартную систему для задачи
оптимальной стабилизации судна на
курсе, которая рассматривалась выше.
Здесь добавлен фильтр
,
который формирует спектр помехи
измерений. Его входной сигнал
описывается как единичный белый шум,
независимый от
.
Вектор внешних воздействий в задаче оптимизации при случайных возмущениях должен описываться моделью единичного белого шума. В данном случае он состоит из двух компонент, независимых сигналов и . Уравнения системы выглядят так:
Поэтому
,
,
,
.
Обратите внимание, что отрицательная
обратная связь здесь выражается в том,
что в записи
появляется знак «минус». Можно показать,
что
– это передаточная функция разомкнутого
контура (без регулятора).
Особенности задачи оптимизации Идеальные датчики
Что будет, если в задаче оптимизации
предположить, что датчик идеально
измеряет сигнал (то есть, принять
)?
Если выполнить синтез, передаточная
функция оптимального регулятора может
получиться, например, такая:
.
В
ней степень числителя выше, чем степень
знаменателя. Разделив числитель на
знаменатель, можно выделить дифференцирующее
звено с передаточной функцией
.
Вроде бы здесь нет ничего плохого. Однако
при построении частотной характеристики
такого регулятора (см. ЛАФЧХ на рисунке
справа, красная линия) становится видно,
что он усиливает высокочастотные
сигналы. Во-первых, это приводит к тому,
что сигнал управления будет очень
большим и в реальной системе будет
превышено его максимально допустимое
значение. Во-вторых, любой высокочастотный
шум измерения (который всегда присутствует)
будет усиливаться регулятором, который
начнет «раскачивать» систему. Таким
образом, с точки зрения практического
использования получилось плохое решение,
хотя и «оптимальное», решение.
Чтобы избежать подобных проблем и
сделать регулятор нечувствительным к
высокочастотным помехам измерительной
системы, в задаче оптимизации добавляют
сигнал помехи типа «белого шума». Если
принять
в той же задаче мы получаем регулятор
.
Поскольку степень числителя меньше
степени знаменателя (функция строго
правильная), его амплитудно-частотная
характеристика (синяя линия на рисунке)
«скатывается» вниз на высоких частотах.
Поэтому регулятор будет нечувствителен
к помехам измерений. Для обеспечения
«ската» частотной характеристики
регулятора на высоких частотах (за
рубежом его называют roll-off), передаточная
функция фильтра
должна иметь равные степени числителя
и знаменателя, то есть, модель помехи
должна содержать составляющую типа
«белого шума». Если в системе несколько
измеряемых сигналов, это относится к
каждому из них.