Плотность массы. Задача о массе фигуры

Пусть фигура Ф обладает определенной массой, неравномерно распределенной на этой фигуре. Тогда плотность  распределения масс является функцией от координат точки P:

где m  масса,   мера и   диаметр элементарной части фигуры, содержащей точку P.

При 0 элементарная часть стягивается в точку P. Функцию (P) будем предполагать непрерывной.

В случае кривой Г говорят о линейной плотности; если фигура есть плоская область D или поверхность Q, то плотность называют поверхностной; для тела R  это обычная объемная плотность.

Поставим теперь следующую задачу.

Найти массу всей фигуры, если в каждой точке P фигуры известна плотность P распределения этой массы.

Для решения задачи разобьем произвольным образом фигуру на элементарные части _1,...,_n_,(как было указано выше, _i будет обозначать и саму i-ю часть, и ее меру). Выберем произвольно в каждой из частей _i по точке P_i. Примем приближенно, что в пределах части _i плотность постоянна и равна P_i, то есть плотности в выбранной точке P_i.

Тогда масса всей фигуры приближенно выразится так:

Если обозначим через  наибольший из диаметров частей _1,_2,
...,_n, то в пределе при 0 это приближенное равенство становится точным, так что

и задача решена.

Итак, масса фигуры равна определенному интегралу по фигуре от плотности.

Таков механический смысл определенного интеграла по фигуре.

Следовательно, если интегрируемая функция f(P) есть плотность распределения масс на фигуре, то в принятых выше обозначениях полученный результат запишется так:

 масса плоской кривой Г;

 масса пространственной кривой Г;

 масса плоской области D;

 масса поверхности Q;

 масса тела R.

Геометрический смысл двойного интеграла

Выясним геометрический смысл двойного интеграла , считая функцию f(x,y) положительной.

Рис. 2.5

Рассмотрим в пространстве тело R, ограниченное снизу областью D, сверху - поверхностью z=f(x,y) и с боков- цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz (рис. 2.5.). Такое тело называют цилиндрическим телом. Найдем объем цилиндрического тела.

Применяя к решению этой задачи основную идею интегрального исчисления, заменим приближенно каждое цилиндрическое тело R_i прямым цилиндром с тем же основанием S_i и высотой f(P_i) (рис. 2.5).

Тогда для объема тела R получим приближенное равенство