Неполные уравнения плоскостей

Итак, всякое уравнение первой степени Ax + By +Cz +D = 0 в декартовых прямоугольных координатах определяет плоскость. Рассмотрим частные случаи этого уравнения.

1. Пусть D = 0. Тогда уравнение принимает вид Ax + By + Cz = 0 и определяет плоскость, проходящую через начало координат, ибо удовлетворяется при x = 0, y = 0, z = 0.

2. При C = 0 уравнение имеет вид

Ax + By + D = 0 и определяет плоскость, параллельную оси Oz (рис. 11.4). Действительно, в этом случае проекция нормального вектора на ось Oz равна нулю.

Следовательно, этот вектор перпендикулярен оси, а сама плоскость параллельна оси Oz.

А налогично, при B = 0 уравнение принимает вид Ax + Cz + D = 0 и определяет плоскость, параллельную оси Oy (рис. 11.5, а). При A = 0 уравнение приводится к виду By + Cz + D = 0 и определяет плоскость, параллельную оси Oх (рис. 11.5, б).

3⁰. При B = C = 0 уравнение принимает вид Ax + D = 0 или x = a, где и определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Оyz.

Это следует из того, что её нормальный вектор перпендикулярен плоскости Оyz (рис.11.6, плоскость ₁).

При a = 0 получаем уравнение x = 0 координатной плоскости Оyz.

Совершенно аналогично можно доказать, что при A = C = = 0 уравнение приводится к виду: By + D = 0 или y = b, где , и определяет плоскость ₂, параллельную координатной плоскости Оxz.

При A = B = 0 уравнение можно записать в виде:

Cz + D = 0 или z = c, где c ; оно определяет плоскость ₃, параллельную координатной плоскости Оху; при с = 0 получается уравнение z = 0 самой плоскости Оху.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Рассмотрим в пространстве три заданные точки с известными координатами: M₁(x₁, y_1, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂) и M₃(x₃, y₃, z₃). Составим уравнение плоскости , проходящей через эти точки.

П усть M(x, y_, z) – произвольная точка пространства. Проведём векторы, идущие из точки M₁ соответственно в точки M, M₂ и M₃ (рис. 11.7).

Точка M будет лежать на плоскости  в том и только в том случае, когда векторы , и компланарны:

.

Выражая смешанное произведение через координаты перемножаемых векторов, получим уравнение плоскости, проходящей через три точки в виде

. (11.4)

Уравнение плоскости в отрезках

Е сли плоскость не проходит через начало координат и не параллельна ни одной из координатных осей, то на последних она отсекает не равные нулю отрезки. Обозначим величины этих отрезков соответственно через a, b и с. Тогда точки M₁(a, 0, 0), M₂(0 , b, 0) и M₃(0, 0, c) будут точками пересечения плоскости с соответствующими координатными осями (рис. 11.8).

Уравнение такой плоскости на основании уравнения (11.4), можно записать в виде

.

Развертывая определитель в левой части уравнения, получим

(x - a) bc + acy + abz = 0 или

bcx + acy + abz = abc.

Разделив все члены последнего уравнения на abc, мы придем к так называемому уравнению плоскости "в отрезках": .

Пример 11.2. Плоскость  определяется уравнением x + 2y + 3z – 6 = 0. Записать для нее уравнение "в отрезках", найти координаты нормального вектора и построить плоскость.

Решение. Записываем уравнение в виде х + 2у + 3z = 6 и делим на 6 все члены уравнения:

.

Э то и есть уравнение плоскости  в отрезках. Координатами нормального вектора являются коэффициенты при х, у и z в общем (исходном) уравнении плоскости: . На координатных осях откладываем отрезки х = 6, у = 3, z = 2 (рис. 11.9). Через полученные три точки проводим плоскость , определяемую данным уравнением.

Чтобы построить нормальный вектор , его начало берем в произвольной точке А плоскости . Затем от точки А "отходим" на +1 в направлении оси Ох (первая координата вектора). От полученной точки "двигаемся" в направлении оси Оу на +2 (вторая координата вектора), после чего – на +3 в направлении оси Оz (третья координата вектора). Соединив точку А с полученной точкой, получаем вектор, перпендикулярный данной плоскости .

Вопросы на понимание основных понятий:

1. Какое уравнение называется векторным уравнением плоскости?

2. Какое уравнение называется скалярным уравнением плоскости?

3. Какое уравнение называется общим уравнением плоскости?

4. Какое уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через три точки?

5. Какое уравнение называется уравнением плоскости в отрезках?