Итерационные методы Решение алгебраических уравнений

До сих пор мы получали многомерные дискретные аналоги с помощью прямого распространения результатов, полученных при рассмотрении одномерной задачи. Единственной процедурой, которая не может быть непосредственно распространена на многомерную задачу, является алгоритм, учитывающий трехдиагональность матрицы коэффициентов (метод прогонки). Прямые методы решения алгебраических уравнений (не требующие итераций), применяемые к 2D и 3D задачам, становятся более сложными и требуют существенно большей оперативной памяти и затрат времени.

Для линейных задач (в которых необходимо только один раз обратиться к процедуре решения алгебраических уравнений) можно использовать прямые методы, но в нелинейных задачах уравнения решаются с неоднократно подправленными коэффициентами, поэтому применение прямых методов представляется неэкономичным.

Альтернативой прямым методам являются итерационные методы решения алгебраических уравнений. Начиная с некоторого начального поля температуры Т (зависимая переменная), последовательные повторения алгоритма приводят к решению, которое достаточно близко к точному решению алгебраических уравнений. Итерационные методы обычно требуют очень небольшого дополнительного объема памяти компьютера и являются удобным способом для преодоления нелинейностей. В нелинейной задаче нет необходимости находить решение алгебраических уравнений с высокой точностью до окончательной сходимости коэффициентов дискретного аналога. Оказывается, что, вообще, должно быть определенное соответствие между усилиями, требуемыми для расчета коэффициентов и затрачиваемыми на решение уравнений.

Один раз рассчитав коэффициенты, мы должны с этим набором коэффициентов выполнить необходимое число итераций для получения решения уравнения, но неразумно тратить много усилий на решение уравнений, которые основываются только на приближенных значениях коэффициентов.

Существует много итерационных методов для решения алгебраических уравнений. Остановимся на двух из них.

Поточечный последовательный метод Гаусса - Зейделя

Простейшим из всех итерационных методов является метод Гаусса - Зейделя, в котором значения переменной рассчитываются путем обращения в определенном порядке к каждой узловой точке. В оперативной памяти держится только один массив значений Т. По мере обращения к очередной узловой точке соответствующее значение Т в оперативной памяти (начальное приближение или значение Т с предыдущей итерации) заменяется на новое. Если дискретный аналог записан в виде (4.3)

,

где индекс nb обозначает соседнюю точку, то новое значение T_P в рассматриваемой узловой точке рассчитывается по соотношению

где T^*_nb - это самое последнее значение температуры в соседних точках, которое находится в оперативной памяти. Для соседних точек, к которым уже обращались в ходе текущей итерации, T^*_nb является новым рассчитанным значением, а для остальных соседних точек T^*_nb - значение с предыдущей итерации. Когда все узловые точки рассмотрены подобным образом, одна итерация метода Гаусса - Зейделя закончена.

Для иллюстрации метода рассмотрим два очень простых примера.

Пример. Уравнения и . Решение

№ итерации	0	1	2	3	4	5	…	∞
T1	0	0,2	0,68	0,872	0,949	0,98	…	1,0
T2	0	1,2	1,68	1,872	1,949	1,98	…	2,0

Как видно из примера, можно получить точное решение уравнений, начиная с некоторых произвольных значений. Интересной особенностью итерационных методов является то, что точность расчета может быть не очень высокой на промежуточных этапах. Приближенность расчетов и даже погрешности уничтожаются в том случае, когда промежуточные значения используются просто как приближения для последующих итераций. Рассмотрим следующий пример.

Пример. Уравнения и . Решение

№ итерации	0	1	2	3	4
T1	0	-1	-4	-11,5	-30,25
T2	0	-3	-10,5	-29,25	-76,13

Здесь итерационный процесс расходится. Однако эти уравнения представляют собой просто вариант предыдущих уравнений, для которых получен сходящийся итерационный процесс. Таким образом, делаем вывод, что метод Гаусса - Зейделя не всегда является сходящимся.