2. Динамика

Следствия из преобразования Галилея. Инварианты преобразований (инвариантность длины, времени, ускорении, уравнений Ньютона)

Как известно, описывать движение можно только в том случае, если задана система отсчета. Но систем отсчета существует множество, и в каждой из них характеристики одного и того же самого движения могут принимать разные значения. Поэтому, необходимо уметь переходить с одной системы отсчета в другую. При этом будем считать, что при рассмотрении небольших скоростей ( «c) справедливы законы классической механики. Когда речь идет о скоростях приближающихся к скорости света, справедливы законы специальной теории относительности (релятивистской механики).

Покажем, что законы механики Ньютона имеют одинаковый вид в двух инерциальных системах К и К’, движущихся относительно друг друга со скоростью U (рис. 2) Положение движущейся точки массой m относительно первой системы зададим радиус-вектором , относительно второй - .

Рис, 2

И з рисунка видно, что связь между и следующая: (1)

(1)

Запишем ее для каждой координаты в отдельности: (2)

Эти формулы позволяют определить координаты материальной точки в системе К , если известны ее координаты в системе . Обратный переход: (3)

Такие уравнения называются преобразованиями координат Галилея. Они дают возможность вычислить координаты движущейся точки по отношению к системе К , если известны координаты ее в системе , и наоборот.

Связь скоростей точки и в разных системах получим, продифференцировав по времени формулу (1),

или (4)

Если в одной из инерциальных систем отсчета тело двигалось с постоянной скоростью , то и в другой оно также будет иметь постоянную скорость . Значит первый закон динамики будет выполняться в обеих системах отсчета.

Поскольку система К движется относительно системы К’ с постоянной скоростью, , то

т.е. ускорения в обеих системах одинаковы, а так как масса движущейся точки m не изменилась при переходе в другую систему, то второй закон динамики будет иметь такой же вид, как и в первой системе: (5)

Таким образом, законы классической механики инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея.

В рассматриваемом случае длина отрезка и интервал времени не зависит от системы отсчета, т.е. если мы измерим в системе К длину какого-то предмета, то она будет точно такой в системе Аналогичное заключение можно сделать и относительно интервала времени между событиями, т.e. длина и время тоже инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея.

3. Закон сохранения импульса и момента импульса

Центр инерции. Аддитивность массы.

Центр масс системы материальных точек - точка, положение которой характеризует распределение массы системы в пространстве. Центр масс - это точка приложения внешних сил, действующих на систему, движущуюся таким образом, как будто суммарная масса системы тел сосредоточена в этой точке.

Аддитивность - свойства физических, геометрических и других величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям при любом разделении объекта на части: аддитивность массы тела означает, что масса тела равна сумме масс составляющих его частей.

Координаты центра масс системы тел определяются следующим образом: (1)

где и - массы и соответствующие координаты тел, входящих в систему.

Положение центра масс тела зависит от того, как распределяется по объему тела его масса. Центр масс не обязательно должен находиться в самом теле. Если тело движется поступательно под действием нескольких сил, значит, точка приложения равнодействующей этих сил находится в центре масс этого тела. Если направление прямой, вдоль которой действует сила, не проходит через центр масс тела, эта сила вызывает поворот тела.

При поступательном движении тела все его точки движутся с таким же ускорением, которое получает центр масс этого тела под действием равнодействующей внешних сил. Следовательно, для того чтобы описать поступательное движение тела, необходимо описать движение центра масс этого тела под действием равнодействующей внешних сил. При движении тела (механической системы) его центр масс движется так же, как двигалось бы под действием равнодействующей внешних сил материальная точка, имеющая массу, равную массе тела (системы). Поэтому, когда мы считаем тело материальной точкой, то имеем в виду центр масс данного тела.

Скорость центра масс механической системы равна отношению импульса этой системы к ее массе: (2)

Соответственно импульс системы равен произведению ее массы на скорость центра масс: . Подставив это выражение для р в уравнение получим закон движении центра масс: (3)

Теорема о движении центра масс системы. Закон сохранения центра массы

Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил (центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору приложенных к системе внешних сил).

Этот закон показывает, что для изменения скорости центра масс системы необходимо, чтобы на систему действовала внешняя сила. Внутренние силы взаимодействия частей системы могут вызывать изменения скоростей этих частей (например, при разрыве снаряда на несколько осколков), но они не могут повлиять на суммарный импульс системы и скорость ее центра масс.

Из закона движения центра масс следует, что скорость центра масс замкнутой механической системы не изменяется с течением времени. Иными словами, центр масс замкнутой системы либо покоится, либо движется с постоянной скоростью относительно неинерциальной системы отсчета.

В качестве системы отсчета в механике часто пользуются системой центра масс поступательно движущейся системы отсчета, относительно которой центр масс рассматриваемой механической системы неподвижен. Из сказанного выше ясно, что система центра масс замкнутой механической системы инерциальная.

Закон сохранения движения центра масс.

Если главный вектор (векторная сумма) внешних сил остается все время равным нулю, то центр масс механической системы находится в покое или движется прямолинейно и равномерно.

Работа и кинетическая энергия вращающегося тела.

Кинетическая энергия твердого тела складывается из кинетических энергий его частей Ei. Рассчитаем значение Ei для элементов твердого тела.

E_i = m_i·v_i²/2 = m_i·w²·r_i²/2.

Кинетическая энергия твердого тела будет равна:

E_к = w²/2·m_i·r_i² = I·w²/2.      (8.13)

Заметим, что формула для расчета Eк похожа на выражение для определения кинетической энергии поступательного движения тела, только роль меры инертности в этом случае играет момент инерции, а не масса и характеристикой движения является угловая, а не линейная скорость твердого тела. Можно показать, что при произвольном движении твердого тела его кинетическая энергия Wt равна сумме кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью v_c его центра масс и кинетической энергии вращения тела с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс

Рассчитаем работу силы, вызывающей вращательное движение тела вокруг некоторой оси и приложенной к произвольной точке этого тела. Согласно определению работы имеем:

A = F·ds = F_·ds. 

Поскольку ds = r·d, то получим следующее выражение для работы:

A = F_·r·d = M·d.

При вращательном движении твердого тела под действием силы F работа равняется произведению момента этой силы на угол поворота.

Работа переменной силы при повороте тела на конечный угол равняется определенному интегралу от момента сил:

  .

Покажем, работа, совершаемая под действием равнодействующего момента сил, равна изменению кинетической энергии тела. Действительно,

A = M·d= I··d = I·(dw/dt)·w·dt = I·d(w²/2), где M - суммарный момент всех сил, действующих на тело.

Произведя интегрирование по углу, получим:

 A₁₂ = I·w₂²/2 - I·w₁²/2 = E_к.

Движение в центральном поле

Центральная сила - сила, которая всегда направлена по радиус-вектору, соединяющему материальную точку с некоторой точкой в пространстве, и зависит только от расстояния до этой точки (pис. 3). Сама эта точка называется центром силы, или силовым центром. Примером центральных сил являются гравитационные силы, силы электростатического взаимодействия.

Рис. 3. Точка 0 — силовой центр. Силы F1(r10) и F2(r20) зависят только от расстояния до центра.

Примером таких сил также могут служить силы гравитационного притяжения Земли к Солнцу (или Луны к Земле).

Покажем, что работа центральных сил также не зависит от формы пути и определяется только начальным и конечным положениями материальной точки. Для этого произведем бесконечно малое перемещение dr.

При этом |dr|cosα = dr, где dr — приращение расстояния до центра. Таким образом, dA = Fdr и

(15)

Значение определенного интеграла зависит только от нижнего и верхнего пределов r₁ и r₂ и, таким образом, не зависит от формы пути.

Материальная точка, движущаяся в поле центральных сил, представляет собой консервативную систему. Поэтому при движении материальной точки сохраняется и полная механическая энергия точки, т.е.

.

Для центрального гравитационного поля большой массы М имеем

.

Законы Кеплера

В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами. Очень непросто наблюдать гравитационное взаимодействие и между различными окружающими нас телами, даже если их массы составляют многие тысячи килограмм. Однако именно гравитация определяет поведение «больших» объектов, таких, как планеты, кометы и звезды, именно гравитация удерживает всех нас на Земле.

Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства.

Закономерности движения планет с давних пор привлекали внимание людей. Изучение движения планет и строения Солнечной системы и привело к созданию теории гравитации – открытию закона всемирного тяготения.

Первый закон Кеплера:

Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

На рис. 4 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точка P траектории называется перигелием, точка A, наиболее удаленная от Солнца, называется афелием или апогеем. Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

Рисунок 4 Эллиптическая орбита планеты массой m << M. а – длина большой полуоси, F и F' – фокусы орбиты.

Второй закон Кеплера:

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

Рисунок 5 Закон площадей – второй закон Кеплера.

Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. На рис. 5 изображен вектор импульса тела и его составляющие и Площадь, заметенная радиус-вектором за малое время Δt, приближенно равна площади треугольника с основанием rΔθ и высотой r:

Здесь – угловая скорость

Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов и

Из этих отношений следует:

Поэтому, если по второму закону Кеплера то и момент импульса L при движении остается неизменным.

В частности, поскольку скорости планеты в перигелии и афелии направлены перпендикулярно радиус-векторам и из закона сохранения момента импульса следует:

rPυP = rAυA.

Третий закон Кеплера:

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит: