3.20. Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений методом исключения переменных

Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений

(3.20.1)

Продифференцируем первое уравнение по : .

Заменяя производные , ,…, их значениями из системы дифференциальных уравнений, получаем . Дифференцируя полученное уравнение аналогичным образом дальше, получим, наконец, .

Составляем новую систему:

(3.20.2)

Из первых -го уравнений выражаем через , и производные :

(3.20.3)

и подставляем (3.20.3) в последнее уравнение системы (3.20.2). В результате получаем дифференциальное уравнение -го порядка относительно : .

Решая это уравнение, находим . Затем, подставляя полученное значение в (3.20.3) находим остальные неизвестные функции .

3.21. Нормальная линейная однородная система дифференциальных уравнений

Система

где коэффициенты – заданные непрерывные на интервале функции или постоянные числа, называется линейной однородной системой дифференциальных уравнений.

Введем матрицы и .

Тогда систему дифференциальных уравнений можно записать в виде .

По аналогии с линейными дифференциальными уравнениями -го порядка легко доказать, что если , ,…, какие-то частные решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений, то их линейная комбинация

(3.21.1)

также будет решением этого уравнения. Аналогично доказывается, что если указанная система частных решений линейно независима, то выражение (3.21.1) является общим решением системы.

Очевидно, что система частных решений будет линейно независима, если их линейная комбинация не может быть обращена в ноль. Иначе говоря, из

(3.21.2)

следует, что . Так как векторное уравнение (3.21.2) эквивалентно скалярным уравнениям

то равенство нулю всех коэффициентов системы возможно лишь при условии, что определитель не равен нулю хотя бы для одного значения .

Определитель называется определителем Вронского системы вектор-функций. С его помощью определяют линейную зависимость или независимость частных решений системы линейных однородных дифференциальных уравнений. Линейно независимые частные решения системы линейных дифференциальных уравнений называются ее фундаментальной системой решений. Эту систему можно характеризовать квадратной матрицей

,

которая называется фундаментальной матрицей системы дифференциальных уравнений. Следует иметь в виду, что координаты частных решений расположены в столбцах матрицы.

3.22. Нормальные линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Приведение системы с постоянными коэффициентами к одному дифференциальному уравнению дает линейное однородное или неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами высшего порядка. Следовательно, структура решения такой системы дифференциальных уравнений должна быть аналогичной решению линейных дифференциальных уравнений.

Пусть дана нормальная система дифференциальных уравнений:

где – постоянные коэффициенты. Как показано в п. 24, данную систему можно представить в матричном виде: . Здесь – матрица-столбец или вектор, составленный из решений системы, – матрица из коэффициентов системы.

Будем искать решение системы в виде , ,…, или , поскольку лишь такое решение может удовлетворить всем уравнениям. Числа подлежат определению. Случай рассматривать не будем, так как он дает тривиальное решение системы.

Для нахождения нетривиального решения подставим данные функции в систему:

Сокращая все уравнения на и перенося все члены в одну сторону, приходим к однородной системе линейных алгебраических уравнений:

(3.22.1)

или в матричной форме , где – единичная матрица -го порядка, .

Чтобы однородная система линейных алгебраических уравнений имела не тривиальное решение, необходимо чтобы ее определитель был равен нулю. В результате мы приходим к уравнению -го порядка для определения :

Это уравнение называется характеристическим уравнением системы, а его корни – корнями характеристического уравнения.

Рассмотрим несколько случаев корней характеристического уравнения.

1. Корни характеристического уравнения действительные и различные. Обозначим через , ,…, корни характеристического уравнения. Для каждого корня решим систему (3.22.1), определяя коэффициенты , ,…, . Система (3.22.1) имеет ранг матрицы на единицу меньше ее порядка, то есть одна переменная является свободной. Обычно ее полагают равной единице.

Таким образом, получаем

для – , ,…, ;

для – , ,…, ;

для – , ,…, .

Решением системы будет линейная комбинация полученных функций:

Определитель Вронского, составленный для функций , ,…, , в ноль не обращается, следовательно, это действительно будет общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений в данном случае.

2. Корни характеристического уравнения действительные и кратные. В том случае, когда какой-то корень характеристического уравнения системы, например первый, является действительным и имеет кратность , то по аналогии с линейными дифференциальными уравнениями -го порядка общее решение приобретет вид:

Чтобы определить неизвестные коэффициенты , ,… подставляют функции , ,…, в систему дифференциальных уравнений и приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях .

3. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные. Пусть среди корней характеристического уравнения есть два комплексных: , . Этим корням будут соответствовать решения:

, ,

где . Коэффициенты и определяются из системы (3.22.1). Затем, составляя линейную комбинацию из этих решений по аналогии с линейными дифференциальными уравнениями -го порядка, получаем два частных решения: