7.2. Момент импульса относительно неподвижной точки и неподвижной оси

Пусть - неподвижная в инерциальной системе отсчета точка пространства, - частица, импульс которой равен , - радиус-вектор, направленный из точки к частице. Моментом импульса частицы относительно начала называется векторное произведение:

. (7.4)

Пример 7.3. Материальная точка массы движется так, что её радиус-вектор относительно начала системы координат зависит от времени по закону: , где и - постоянные векторы. Вычислим момент импульса частицы относительно начала . Поскольку движение частицы происходит со скоростью , то её импульс . Учитывая выбор начала, относительно которого вычисляется момент импульса, следует положить в (7.4) . Получим:

.

Пусть - неподвижная ось, проходящая через начало . Моментом импульса частицы относительно неподвижной оси называется проекция вектора момента импульса на эту ось. Путем выкладок, полностью аналогичных проделанным в подразделе (7.1), получим:

, (7.5)

где - модуль компоненты импульса частицы, нормальной к оси: ; - плечо импульса, равное расстоянию от оси до линии, на которой лежит вектор .

Пример 7.4. Материальная точка массы движется равномерно и прямолинейно со скоростью вдоль оси . Вычислим момент импульса частицы относительно неподвижного начала , лежащего в плоскости на расстоянии от оси , рис.7.3.

Рис. 7.3.

Имеем: . Вектор нормален к плоскости , в которой лежат векторы и ; . Так как , то

. (7.6)

Для проекций вектора имеем: , .

7.3. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса

Запишем момент импульса частицы относительно начала , рис.7.4, в виде (7.4). Дифференцируя это равенство по времени, получим:

. (7.7)

Производная по времени импульса частицы равна силе, действующей на частицу, . Учтем также, что

,

где - скорость частицы ( , так как ). Получим:

.

Первое слагаемое равно нулю, так как . Второе слагаемое, согласно определению (7.1), есть момент силы . Равенство примет вид:

. (7.8)

Это соотношение называется уравнением моментов. Оно получено для одной частицы. Обобщим его на случай системы материальных точек.

Запишем уравнение (7.8) для каждой частицы системы и сложим их. Снова придем к уравнению (7.8), в котором теперь величины и имеют смысл суммарных моментов:

, (7.9)

Рис. 7.4.

где - момент импульса частицы с номером , - момент действующей на нее силы. Величину можно представить в виде:

,

где - суммарный момент внешних сил, действующих на систему. Момент всех внутренних сил равен нулю. Действительно, силы, с которыми две частицы действуют друг на друга, равны по величине, противоположны по направлению и лежат на одной прямой. Моменты этих сил также одинаковы по величине и противоположны по направлению. Это следует из того, что при перемещении точки приложения силы вдоль линии действия силы момент силы не изменяется, см. подраздел 7.1, а при изменении направления силы на противоположное момент меняет знак. Поэтому сумма моментов сил, с которыми две частицы действуют друг на друга, равна нулю. Момент всех внутренних сил равен сумме моментов сил взаимодействия всех возможных пар частиц системы. С учетом этого обстоятельства уравнение моментов (7.9) примет вид:

. (7.10)

Согласно (7.10), производная по времени момента импульса системы относительно неподвижного начала равна моменту внешних сил относительно того же начала.

Пусть - неподвижная ось, проходящая через начало . Проектируя уравнение моментов (7.10) на эту ось, получим:

, (7.11)

где -момент внешних сил относительно оси , - момент импульса системы относительно этой оси.

Из (7.10) следует:

. (7.12)

Если момент внешних сил относительно неподвижного начала равен нулю, то момент импульса системы относительно того же начала не меняется с течением времени, то есть сохраняется. Это утверждение выражает закон сохранения момента импульса.

Из (7.12) следует частный случай закона сохранения момента импульса:

. (7.13)

Момент импульса системы относительно неподвижной оси сохраняется, если момент внешних сил относительно этой оси равен нулю.

Анализ показывает, что закон сохранения момента импульса связан с изотропностью пространства, то есть принципиальной равноправностью различных направлений в пространстве.

Отметим структурную аналогию соотношений (5.4) и (7.10), (5.5) и (7.12), (5.7) и (7.13). Эти соотношения переходят друг в друга при формальных заменах , , то есть при замене сил и импульсов моментами этих величин.

Пример 7.5. Рассмотрим движение частицы в центральном поле. Моменты будем определять относительно силового центра. Поскольку сила , действующая на частицу, направлена к силовому центру или от него, то вектор коллинеарен радиусу-вектору , проведенному к частице из силового центра. Получим, что момент силы . Согласно закону сохранения момента импульса, при этом . Итак, в центральном силовом поле момент импульса частицы относительно силового центра сохраняется. Поскольку , то , и радиус-вектор частицы нормален вектору , не меняющему своего направления в пространстве. Это означает, что вектор лежит в плоскости, нормальной к вектору . Таким образом, в центральном поле частица движется в одной плоскости.