9.5. Системы с сохраняющимся моментом импульса

В применении к системам, содержащим вращающиеся твердые тела, сформулированный в главе 7 закон сохранения момента импульса проявляется особенно наглядно.

Пример 9.9. Рассмотрим твердое тело, вращающееся без трения с угловой скоростью вокруг неподвижной оси , проходящей через центр масс тела. Ось для простоты рассуждений будем считать бесконечно тонкой. Пусть на тело действуют лишь сила тяжести и сила реакции со стороны оси. Моменты этих сил относительно оси равны нулю, так как равны нулю их плечи (сила тяжести приложена к центру масс тела). Равен нулю и момент сил трения ввиду их предполагаемого отсутствия. Таким образом, момент внешних сил относительно оси равен нулю. Согласно (7.12), проекция момента импульса тела на ось , где - момент инерции тела относительно оси , будет сохраняться. Отсюда следует, что , то есть вращение тела происходит с постоянной угловой скоростью.

Пусть тело насажено на цилиндрический вал, на концах которого имеются подшипники. Проводя несколько более громоздкие рассуждения, можно показать, что при отсутствии трения в подшипниках, как и в случае бесконечно тонкой оси, тело будет вращаться вместе с цилиндрическим валом с постоянной угловой скоростью. Конечно, реально всегда есть сила трения тела об ось или сила трения в подшипниках, что приводит к постепенному замедлению вращения тела.

Пример 9.10. Рассмотрим скамью Жуковского - платформу в виде диска радиуса с моментом инерции относительно вертикальной оси , вокруг которой платформа может вращаться, рис. 9.10. Трение в оси будем считать незначительным. На краю платформы стоит человек массы . Платформа вместе с человеком вращается с угловой скоростью . Человек переходит в центр платформы. Как при этом изменится угловая скорость платформы? Считать, что "диаметр" человека мал по сравнению с радиусом платформы, так что человека в данной задаче можно считать материальной точкой.

Рис. 9.10.

Рассмотрим систему "платформа - человек". Суммарный момент внутренних сил в системе (силы трения между ногами человека и платформой, силы давления человека на платформу и платформы на человека) равен нулю, см. подраздел 7.3. Момент внешних сил, действующих на платформу, также равен нулю, см. предыдущий пример. Момент силы тяжести человека относительно любого начала , лежащего на оси , , нормален к вектору и, следовательно, к вертикальной оси , и его проекция на ось равна нулю. Таким образом, суммарный момент внешних сил относительно оси равен нулю и момент импульса системы "человек-платформа" относительно этой оси сохраняется. До перехода человека , где - момент инерции человека относительно оси . После перехода человека в центр платформы , , где - угловая скорость платформы после перехода человека. Ввиду сохранения момента импульса системы "платформа-человек" относительно вертикальной оси имеем ,

,

.

В рассмотренном примере увеличение угловой скорости вращения системы произошло по причине уменьшения её момента инерции при переходе человека с края в центр платформы. Такой возможностью изменить угловую скорость своего вращения пользуются, например, спортсмены при фигурном катании на льду. Спортсмен начинает вращение с разведенными в стороны руками, после чего прижимает руки к телу, уменьшая тем самым свой момент инерции. Соответственно, увеличивается угловая скорость вращения тела спортсмена.

Задача 9.6. Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходящей через их центры. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны и , а угловые скорости - и . После падения верхнего диска на нижний оба диска благодаря трению между ними начали через некоторое время вращаться как единое целое. Найти установившуюся угловую скорость вращения дисков. Указание. По отношению к системе двух дисков силы трения между ними являются внутренними и не могут изменить момент импульса системы, что позволяет воспользоваться законом сохранения момента импульса.

Ответ: .