Глава I

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 1. Тензор деформации

Механика твердых тел, рассматриваемых как сплошные среды, составляет содержание теории упругости ^х).

Под влиянием приложенных сил твердые тела в той или иной степени деформируются, т. е. меняют свою форму и объем. Для математического описания деформации тела поступают следующим образом. Положение каждой точки тела определяется ее радиус-вектором г (с компонентами х_г = х, х₂ — у, х₃ = z) в некоторой системе координат. При деформировании тела все его точки, во­обще говоря, смещаются. Рассмотрим какую-нибудь определен­ную точку тела; если ее радиус-вектор до деформирования был г, то в деформированном теле он будет иметь некоторое другое зна­чение г' (с компонентами х\). Смещение точки тела при деформиро­вании изобразится тогда вектором г' — г, который мы обозначим посредством и:

U( = X'_{ — X_L. (1,1)

Вектор и называют вектором деформации (или вектором смеще­ния). Координаты x'i смещенной точки являются, конечно, функци­ями от координат x_t той же точки до ее смещения. Поэтому и век­тор деформации является функцией координат x_t. Задание век­тора и как функции от x_t полностью определяет деформацию тела.

При деформировании тела меняются расстояния между его точками. Рассмотрим какие-нибудь две бесконечно близкие точки. Если радиус-вектор между ними до деформирования был dx_t, то в деформированном теле радиус-вектор между теми же двумя точками будет dx\ = dxt + dm. Само расстояние между точками было равно до деформирования

dl = У dx\ -j- dx\ -j- dx\, а после деформирования

*) Основные уравнения теории упругости были установлены Коши и Пуас­соном в 20-х годах XIX века.

dl' = V dti + dx₂² + dx'₃\

Согласно общему правилу написания сумм можно написать.;

dP = dxj, dl'' = dx'i = {dx_t + du_t)\ Подставив du_t = dx_k, переписываем dl¹' в виде

dl>' = dC₊2^d_Xid_Xh+J^<^d_Xkdx,

Поскольку во втором члене оба индекса i и k являются «емыми, их можно переставить и соответственно записать этот член в явно симметричном виде

^jdXidXk

\ dx_k ' дх,

В третьем же члене поменяем местами индексы i и Л Тогда мы получим окончательно dl'- в виде

dl'" — dC -f- 2u_ih dx_t dx_k>

где

^Jft 2 \ dx_h ¹ dx_t ¹ dxi dx_h J ^v ' >

Этими выражениями определяется изменение элемента длины при деформировании тела. Тензор называют тензором дефор­мации; по своему определению он симметричен:

Щн = Им- (1,4)

Как и всякий симметричный тензор, можно привести тензор и_л в каждой данной точке к главным осям. Это значит, что в каж­дой данной точке можно выбрать такую систему координат — главные оси тензора, — в которой из всех компонент u_ik отличны от нуля только диагональные компоненты и_1Ъ щ₂, и₃₃. Эти ком­поненты — главные значения тензора деформации — обозначим посредством ы^(1>, ы⁽²⁾, ы^<3). Надо, конечно, помнить, что если тен­зор u_ih приведен к главным осям в некоторой точке тела, то он, вообще говоря, недиагонален во всех других точках.

Если тензор деформации приведен в данной точке к главным осям, то в окружающем ее элементе объема элемент длины (1,2) приобретает вид

dl'' = (6_ift + 2u_ih) dx_t dx_k =

. = (1 + 2«⁽¹⁾)d*? + (l + 2u^{i')dx\-\-{\ 4.2u™)dx\.

Мы видим, что это выражение распадается на три независимых члена. Это значит, что в каждом элементе объема тела деформа­цию можно рассматривать как совокупность трех независимых деформаций по трем взаимно перпендикулярным направлениям — главным осям тензора деформации. Каждая из этих деформаций представляет собой простое, растяжение (или сжатие) вдоль соот­ветствующего направления: длина dx_z вдоль первой из главных осей превращается в длину

dx\ =-j/l +2w¹¹' dxi и аналогично для двух других осей. Величины

у i + 2u<'> - 1

представляют собой, следовательно, относительные удлинения (dx[ — dxi)ldxi. вдоль этих осей.

Практически почти во всех случаях деформирования тел деформации оказываются малыми. Это значит, что изменение любого расстояния в теле оказывается малым: по сравнению с са­мим расстоянием. Другими словами, относительные удлинения малы по сравнению с единицей. Ниже мы будем рассматривать все деформации как малые.

Если тело подвергается малой деформации, то все компоненты тензора деформации, определяющего, как мы видели, относитель­ные изменения длин в теле, являются малыми. Что же касается вектора деформации, то он может быть в некоторых случаях большим даже при малых деформациях. Рассмотрим, например, длинный тонкий стержень. Даже при сильном изгибе, когда его концы значительно переместятся в пространстве, растяжения и сжатия внутри самого стержня будут незначительными.

За исключением таких особых случаев ¹), при малых деформа­циях является малым также и вектор деформации. Действительно, никакое «трехмерное» тело (т. е. тело, размеры которого не спе­циально малы ни в каком направлении) не может быть, очевидно, деформировано так, чтобы отдельные его части сильно перемести­лись в пространстве, без возникновения в теле сильных растяже­ний и сжатий..

¹) Кроме деформаций тонких стержней сюда относятся изгибы тонких пластинок в цилиндрическую поверхность. Следует исключить также случай, когда «трехмерное» тело наряду с деформацией поворачивается как целое вокруг некоторой оси гга конечный угол.

Тонкие стержни, будут нами, рассмотрены отдельно в главе II. В остальных же случаях, следовательно,, при малых деформациях смещения u_it а с ними и их производные по координатам, малы. Поэтому в общем выражении (1,3) можно пренебречь последним членом как малой величиной второго порядка. Таким образом, в случае малых деформаций тензор деформации определяется выражением

Относительные удлинения элементов длины вдоль направлений главных осей тензора деформации (в данной точке) равны теперь с точностью до величин высших порядков

V 1 + 2и<*> - 1 « «С»,

т. е. непосредственно главным значениям тензора и^.

Рассмотрим какой-нибудь бесконечно малый элемент объема dV и определим его величину dV после деформирования тела. Для этого выберем в качестве осей координат главные оси тензора деформации в рассматриваемой точке. Тогда элементы длины dx_x, dx_iy dx_a вдоль этих осей после деформирования перейдут в dx\ = = (1 + ы<'>) dxx и т. д. Объем dV есть произведение dx_x dx₂ dx_3f объем же dV равен dx{ dx'2 dx'₃. Таким образом,

dV = dV(l + и")) (1 +-u<²⁾) (1 + и<³>).

Пренебрегая величинами высших порядков малости, находим от­сюда

dV = dV (1 + цО> + ы<²> + ы<³>).

Но сумма 4- «⁽²⁾ 4- и^<3) главных значений тензора есть, как известно, его инвариант и равна в любой системе координат сумме диагональных компонент ыц = ы_п + ы₂₂ + ы₃₃. Таким образом,

dV'=dV{\ + u_H). (1,6)

Мы видим, что сумма диагональных компонент тензора деформации дает относительное изменение объема (dV — dV)ldV.

Часто бывает удобным пользоваться компонентами тензора деформации не в декартовых, а в сферических или цилиндрических координатах. Приведем здесь для справок соответствующие фор­мулы, выражающие эти компоненты через производные от компо­нент вектора смещения в тех же координатах. В сферических ко­ординатах г, 9, ф имеем

u_rr-—, Bee—-——, 2«_r9 = ^---?- + -f 0.7)

В цилиндрических координатах г, ер, z

= 2и_Г^^^-_} (1,8) п д«_Ф Цф , 1 ди_т