Лекция 2 Способы решения оптимизационных задач

Считая, что оптимизационная задача каким-то образом определена, можно выделить следующие способы её решения:

1. Аналитический

2. Графический

3. Численный

4. Экспериментальный

5. Инвариантная оптимизация

Аналитический способ решения

Использует классические процедуры дифференциального и вариационного исчисления. Методы, которые используются в этом способе, оптимизируют целевую функцию путем нахождения таких значений ее аргументов, которые обращают в ноль ее первую производную.

При наличии ограничений, которые, как и целевая функция, должны быть обязательно заданы в аналитическом виде, используются методы Лагранжа или вариационного исчисления. Применяется данный способ решения, для задач которых целевая функция задана в несложном, явном аналитическом выражении.

Графический способ

Основан на графическом отображении целевой функции. Экстремум функции определяется в результате анализа ее графика и проведении несложных графических процедур. Является достаточно простым и наглядным, но применим для решения задач невысокой размерности.

Численный способ

Методы, формирующие этот способ, используют предшествующую информацию для нахождения улучшенных значений при помощи итерационных процедур.

Этот способ нашел наиболее широкое применение для решения практических оптимизационных задач. Особенно в тех случаях, когда критерий оптимальности представлен в виде сложной нелинейной зависимости или задан в неявном виде, а на независимые переменные наложены ограничения, заданные в виде равенств, неравенств, либо и того и другого.

Экспериментальный способ решения

Экстремум целевой функции находится в результате проведения последовательных экспериментов, непосредственно на реальном объекте, результаты одного эксперимента используются для проведения следующего, позволяющего получить улучшенный результат.

Способ нашел применение для решения оптимизационных задач, в которых объект оптимизации мало изучен, и данные о нем не позволяют разработать его математическую модель.

Инвариантная оптимизация

Методы, которые использует данный способ, основаны на анализе нескольких возможных вариантов решения задачи и выборе среди них наилучшего.

Примеры постановок оптимизационных задач

Пример 1:

В химическом реакторе протекает технологический процесс получения компонента С_с, получается он из двух исходных компонентов

G – расход исходных компонентов

С – концентрация исходных компонентов

Т – температура в реакторе

n – скорость вращения мешалки

Для поддержания необходимой температуры в реакторе он оборудован рубашкой с хладагентом.

G_x/a – расход хладагента.

Возможна постановка задачи:

Найти такие условия протекания процесса, при котором выход целевого компонента будет максимальным.

Формализация

Q_v=GC_c  max

G=G_a+G_b

V- управляющие воздействия: {G_x/a, n, G_a,G_b}

Ограничения:

Пример 2:

Продукт получается в результате протекания двух химических реакций.

А+В^r1C

C^r1D+E

r₁=K₁C_AC_B

r₂=K₂C_AC_B

Одна из постановок задачи:

Разработать математическую модель, которая описывала бы процесс с заданной точностью, т.е. была ему адекватна.

И т.д.

Т аким образом, математическая модель будет состоять из пяти дифференциальных уравнений.

-расчетная концентрация компонента C

- экспериментальная концентрация компонента C

-точность математической модели