Методические указания к выполнению практического задания

Построение экономико-математической задачи включает следующие этапы:

1. Постановка экономико-математической задачи

2. Структурная экономико-математическая модель задачи

3. Выбор системы переменных величин

4. Подготовка исходной информации

5. Состав и математическая формулировка ограничений задачи

6. Построение рабочей матрицы задачи

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Постановка задачи предполагает ее описательную (словесную) формулировку. Она должна быть краткой и четкой, без лишних пояснений, длинных формулировок, противоречивых моментов и неясностей.

Постановку задачи можно сформулировать следующим образом: определить оптимальное сочетание отраслей в хозяйстве, которое позволило бы наиболее эффективно использовать все имеющиеся производственные ресурсы и дало бы возможность получить максимум товарной продукции.

В контрольной работе этот раздел должен обязательно содержать всё условие задачи по своему варианту.

СТРУКТУРНАЯ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ

Найти оптимальный план, т.е. набор значений , при которых достигается максимальное значение функции F

при условиях:

1. Использование посевных площадей

2. Использование производственных ресурсов i-го вида

3. Использование материально-денежных средств

4. Производство и потребление кормов - всего

5. Производство и потребление кормов по видам и группам

6. Группы и виды кормов в рационе кормления животных сверх минимальной потребности

7. Всего кормов сверх минимума

8. Ограничения по площадям посева отдельных культур, поголовью животных

9. Ограничения по гарантированному производству продукции

10. Ограничения по соотношению между различными половозрастными группами животных

Условные обозначения:

- площади посева культур j-го вида;

- среднегодовое поголовье производственных групп животных L-го вида;

- количество кормов, входящих в рацион кормления L-й группы животных сверх минимума;

- объем производственных ресурсов, определяемый в результате решения задачи;

S - общая посевная площадь;

- объем производственных ресурсов i-го вида, выделяемый для производства продукции растениеводства и животноводства;

- затраты производственных ресурсов i-го вида на один гектар посева культур j-го вида или на одну голову животных L-го вида;

- общий объем кормов в пересчете на i-й элемент питания, получаемых с естественных кормовых угодий;

- выход кормов в пересчете на i-й элемент питания с одного гектара посева культур j-го вида;

- 100%-ная потребность в кормах в пересчете на i-й элемент питания одной головы животных L-го вида;

- максимальная потребность в кормах одной головы животных L-го вида;

- минимальная потребность в кормах одной головы животных L-го вида;

- минимальная площадь посева культур j-го вида или поголовье животных L-го вида;

- максимальная площадь посева культур j-го вида или поголовье животных L-го вида;

- гарантированный объем производства товарной продукции растениеводства или животноводства;

- выход товарной продукции с одного гектара посева культур j-го вида;

- выход товарной продукции от одной головы животных L-го вида;

- коэффициент пропорциональности между старшей и младшей половозрастными группами животных;

- оценка критерия оптимальности одного гектара посева культуры j-го вида или одной головы животных L-го вида.

СИСТЕМА ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН

Задача по оптимизации производственной структуры сельскохозяйственного предприятия включает в себя следующие группы переменных величин:

1) площади посева сельскохозяйственных культур, используемых на товарные цели;

2) площади посева сельскохозяйственных культур, используемых на кормовые цели;

3) среднегодовое поголовье половозрастных групп животных;

4) прибавка кормов в рационах животных сверх минимальной границы;

5) определяемые объемы производственных ресурсов;

6) стоимостные показатели.

При разработке перечня переменных по растениеводству учитываются существующий и возможный на перспективу состав возделываемых сельскохозяйственных культур. Детализация, с которой отдельные куль­туры вводятся в виде переменных в задачу, зависит от поставленной цели. Здесь нужно учитывать, что при большей детализации полнее и точнее учи­тываются факторы и условия моделируемого процесса и решение получается более достоверным и конкретным. В то же время, излишнее дробление усложняет постановку задачи и увеличивает ее размерность.

Продукция одного и того же вида, используемая на разные цели (на товарные, фуражные) обозначается отдельными переменными величинами. Разный вид конечной продукции одной и той же культуры (сено, сенаж, зеленый корм) также определяется самостоятельными переменными величинами. Необходимость организации зеленого конвейера в пастбищный период обуславливает ввод нескольких переменных величин по срокам посева одних и тех же культур.

Выход кормов с естественных угодий можно определить до решения задачи и переменными величинами не обозначать.

Исходя из сказанного, в растениеводстве, должны быть следующие переменные величины:

Х₁ - площадь посева пшеницы на товарные цели, га;

Х₂ - площадь посева пшеницы на фуражные цели, га;

Х₃ - площадь посева ячменя на товарные цели, га;

Х₄ - площадь посева ячменя на фуражные цели, га;

Х₅ - площадь посева овса на товарные цели, га;

Х₆ - площадь посева овса на фуражные цели, га;

Х₇ - площадь посадки картофеля, га;

Х₈ - площадь посева кукурузы, га;

Х₉ - площадь посева корнеплодов, га;

Х₁₀ - площадь посева многолетних трав на сено, га;

Х₁₁ - площадь посева многолетних трав на зелёный корм, га.

Степень детализации переменных величин в животноводстве зависит от специализации и уровня концентрации производства животноводческой продукции. В курсовой работе требуется выделить две половозрастные группы в скотоводстве: коровы и молодняк крупного рогатого скота. По остальным видам животных подразделение на половозрастные группы не производится.

Таким образом, в этой группе будут следующие переменные:

Х₁₂ - поголовье коров, гол.;

Х₁₃ - поголовье молодняка, гол.

Так как требуется оптимизировать рационы кормления коров, переменными величинами будут корма, входящие в рацион этой группы животных сверх минимальной потребности:

Х₁₄ - количество концентратов сверх минимума в рационе коров, ц корм. ед.;

Х₁₅ - количество грубых кормов сверх минимума в рационе коров, ц корм. ед.;

Х₁₆ - количество сочных кормов сверх минимума в рационе коров, ц корм. ед.;

Х₁₇ - количество зелёных кормов сверх минимума в рационе коров, ц корм. ед..

В качестве вспомогательной переменной в задаче введем количество сопряженной продукции растениеводства - соломы - выделяемой на корм скоту (Х₁₈). Единица измерения - центнеры.

ПОДГОТОВКА ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Вся исходная информация, необходимая для задачи, приведена в задании по выполнению контрольной работы. Для построения модели необходимо рассчитать технико-экономические коэффициенты при переменных и объемы ограничений. Расчеты предлагается оформить в виде следующих таблиц.

Таблица 10 – Расчёт выхода продукции с 1 га посева зерновых культур, картофеля и овощей
Культура	Пере­менная	Урожайность с 1 га, ц	Основная продукция, ц		Выход корма		Цена реализации 1 ц, р.	Стоимость товарной продукции, р.	Солома
			товарная часть	фуражная часть	коэффиц. перевода в корм. ед.	ц корм. ед.			урожайность с 1 га, ц	выход корма, ц корм. ед.
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Пшеница товарная	Х1	20	20				560	11200	14	2,8
Пшеница фуражная	Х2	20		20	1,2	24			14	2,8
Ячмень товарный	Х3	24	24				380	9120	16,8	3,36
Ячмень фуражный	Х4	24		24	1,21	29,04			16,8	3,36
Овёс товарный	Х5	14	14				320	4480	9,8	1,96
Овёс фуражный	Х6	14		14	1	14			9,8	1,96
Картофель	Х7	145	108,5	36,5	0,28	10,15	1500	163125

Пояснения по заполнению таблицы

1. Исходные данные для графы 3 берутся из таблицы 4, для граф 6 и 7 – из таблицы 5 условия задачи.

2 Уровень товарности по картофелю и овощам для расчёта граф 4 и 5 берётся из таблицы 5.

3. По зерновым культурам уровень товарности должен быть определён в результате решения задачи, для чего по каждой культуре введены две переменные: площадь посева культуры на товарные цели и на корм животным (фураж).

Таблица 11 – Расчёт выхода продукции с 1 га посева кормовых культур

Культура	Пере­менная	Урожайность с1 га, ц	Коэффициент перевода в корм. ед.	Выход корма, ц корм. ед.
1	2	3	4	5
Кукуруза на силос	Х8	100	0,18	18
Кормовые корнеплоды	Х9	300	0,12	36
Многолетние травы: на сено	Х10	20	0,5	10
на зелёный корм	Х11	80	0,18	14,4

Пояснение по заполнению таблицы: исходные данные для графы 3 берутся из таблицы 4, для графы 5 – из таблицы 5 условия задачи.

Таблица 12 – Выход кормов с естественных угодий
Вид угодий	Площадь, га	Урожайность с1 га, ц	Валовой сбор
			ц	ц корм. ед.
Сенокосы	500	8	4000	1600
Пастбища	1100	30	33000	6600
Итого	х	х	х	8200

Пояснение по заполнению таблицы: заполняется на основании данных таблицы 2.

Таблица 13 - Расчёт технико-экономических показателей в животноводстве
Показатели	Молоко	Прирост
Продуктивность, ц	30	1,6
Затраты труда, чел.-ч : на 1 ц	1,15	6
на 1 голову, чел.-ч	34,5	9,6
Затраты кормов, ц корм. ед.: на 1 ц,	1,39	11,20
на 1 голову, ц корм. ед.	41,70	17,92
Цена реализации 1 ц, р.	550	7750
Уровень товарности, %	82,8	100
Количество товарной продукции, ц	24,84	1,6
Стоимость товарной продукции, р.	13662	12400

Пояснение по заполнению таблицы: заполняется на основании данных таблицы 8.

Таблица 14 - Структура кормовых рационов
Группы кормов	Для коров						Для молодняка
	удельный вес, %			кормовые единицы, ц (100 % - 41,7 ц корм. ед.)			удельный вес, %	кормовые единицы, ц
	минимум	максимум		минимум	максимум	сверх минимума
1	2	3		4	5	6	7	8
Концентраты	15	20		6,26	8,34	2,09	17	3,05
Грубые	25	32		10,43	13,34	2,92	27	4,84
в т.ч. солома	5	-		2,09	-	-	7	1,25
Сочные	18	25		7,51	10,43	2,92	24	4,30
Зелёные	25	35		10,43	14,60	4,17	32	5,73
ИТОГО:	83	112		34,61	х	х	100	17,92
Итого сверх минимума:			41,7 - 34,61 = 7,09

Пояснения по заполнению таблицы

1. Удельный вес для граф 2 и 3 проставляется из таблицы 6, для графы 7 - и з таблицы 7.

2. 100%-ная потребность берётся из таблицы 13.

СОСТАВ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ОГРАНИЧЕНИЙ

После подготовки исходной информации составляют развернутую экономико-математическую модель задачи, записывая все требования, которые необходимо учесть при решении, в виде отдельных ограничений.

В экономико-математической модели задачи должны быть представлены следующие группы ограничений:

1) по использованию земельных угодий;

2) по использованию лимитированных производственных ресурсов;

3) по производству и использованию кормов в целом и по видам и группам кормов;

4) по оптимизации среднегодовых рационов кормления животных;

5) по реализации продукции;

6) по соотношению различных половозрастных групп животных друг к другу;

7) по соотношению посевов отдельных культур.

В соответствии с данным перечнем и исходными данными, в задаче будут следующие ограничения.

1. Использование площади пашни, га

X₁ +X₂ +X₃ +X₄ +X₅ +X₆ +X₇ +X₈ +X₉ +X₁₀ +X₁₁ <= 5100

2. Использование трудовых ресурсов, чел.-дни (коэффициенты по растениеводству берутся из таблицы 3, по животноводству – из таблицы 8, объём ограничения – из таблицы 2)

6X₁ + 6X₂ + 4X₃ + 4X₄ + 4X₅ + 4X₆ + 37X₇ + 9X₈ + 100X₉ + 9X₁₀ + 7X₁₁ + 34,5X₁₂ + 9,6X₁₃ <= 65000

3. Производство соломы на корм животным, ц (по данным графы 11 таблицы 10)

-2,8X₁ -2,8X₂ -3,36X₃ -3,36X₄ -1,96X₅ -1,96X₆ + X₁₈ <= 0

4. Производство и потребление кормов в пересчете на кормовые единицы, ц корм. ед. (выход корма - по данным таблиц 10, 11, 12, потребность - по данным таблицы 13)

-24X₂ -29,04X₄ -14X₆ -10,15X₇ -18X₈ -36X₉ -10X₁₀ -14,4X₁₁ +41,71X₁₂ +17,92X₁₃–X₁₈ <=8200

Производство и потребление кормов по группам, ц корм. ед. (выход корма - по данным таблиц 10, 11, 12, потребность - по данным таблицы 14)

5. Концентраты

-24 X₂ -29,04 X₄ -14 X₆ +6,26 X₁₂ +3,05 X₁₃ + X₁₄ <= 0

6. Грубые

-10 X₁₀ +10,43 X₁₂ +4,84 X₁₃ + X₁₅ <= 1600

7. В том числе солома

2,09 X₁₂ + 1,25 X₁₃ - X₁₈ = 0

8. Сочные

10,15X₇ -18X₈ -36X₉ + 7,51 X₁₂ + 4,30 X₁₃ + X₁₆ <= 0

9. Зелёные

-14,4 X₁₁ + 10,43 X₁₂ + 5,73 X₁₃ + X₁₇ <= 6600

Прирост кормов по видам и группам в рационе коров сверх минимальной потребности, ц корм. ед. (по данным таблицы 14)

10.Концентраты

X₁₄ <= 2,09 X₁₂ или -2,09 X₁₂ + X₁₄ <= 0

11.Грубые корма

X₁₅ <= 2,92 X₁₂ или -2,92 X₁₂ + X₁₅<= 0

12.Сочные корма

X₁₆ <= 2,92 X₁₂ или -2,92 X₁₂ + X₁₆ <= 0

13. Зелёные корма

X₁₇ <= 4,17 X₁₂ или -4,17 X₁₂ + X₁₇ <= 0

14. Итого кормов сверх минимальной потребности

X₁₄ + X₁₅ + X₁₆ + X₁₇ = 7,06 X₁₂ или -7,06 X₁₂ + X₁₄ + X₁₅ + X₁₆ + X₁₇ = 0

15. Производство зерна товарного, ц (по данным таблиц 9 и 10)

20 X₁ +24 X₃ +14 X₅ >= 65000

16. Производство молока товарного, ц (по данным таблиц 9 и 13)

24.84 X₁₂ >= 12000

17. Соотношение поголовья коров и молодняка крупного рогатого скота (определяется по структуре стада из таблицы 8).

X₁₂ = 30,7 (X₁₂ + X₁₃) или 69,3X₁₂ -30,7X₁₃ = 0

18. Площадь посева пшеницы товарной, га

X₁ <= 0,7 (X₁ + X₂ + X₃ +X₄ + X₅ + X₆ ) или

0,3 X₁ -0,7 X₂ -0,7 X₃ -0,7 X₄ -0,7 X₅ -0,7 X₆ <= 0

19. Площадь картофеля и корнеплодов, га

X₇ +X₉ <= 20

20. Производство картофеля товарного, ц

108,75 X₇ >= 0

Примечания.

1. Ограничение 20 добавлено для того, чтобы определить объём про­изводства товарного картофеля в результате решения задачи. В правой части ограничения поставлен 0, поскольку в условии задачи (таблица 9) значения нет.

2. По вариантам, для которых не указан объём производства товарного зерна, аналогично записывается ограничение, определяющее этот объём.

Целевая функция – максимум товарной продукции, р. (по данным таблиц 10 и 13)

F(x) = 11200 X₁ + 9120 X₃ + 4480 X₅ + 163125 X₇ + 13662 X₁₂ + 12400 X₁₃ → max

ПОСТРОЕНИЕ РАБОЧЕЙ МАТРИЦЫ

Запись модели задачи в развернутой форме очень громоздкая и недостаточно наглядная. Для удобства работы с моделью (проверки правильности всех записей, ввода в ЭВМ для решения, анализа решения задачи) ее записывают в виде матрицы.

Матрица экономико-математической задачи - это таблица, в которой по строкам располагаются названия ограничений, по столбцам - названия переменных, а в самой таблице записываются коэффициенты при переменных (если коэффициент в ограничении отсутствует, клетку оставляют пустой).

Матрица задачи, рассматриваемой в данных методических указаниях, приведена в таблице 15.

Таблица 15 - Матрица задачи

Ограничения	Пшеница		Ячмень		Овёс		Картофель	Куку-руза	Корне-плоды	Многол. травы		Поголовье коров	Поголовье молодняка	Корма сверх минимума				Солома на корм	Тип ограничения	Объём ограничения
	товарная	фуражная	товарный	фуражный	товарный	фуражный				на сено	на зел. корм			концентраты	грубые	сочные	зелёные
	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	Х9	Х10	Х11	Х12	Х13	Х14	Х15	Х16	Х17	Х18
1. Площадь пашни	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1								<=	5100
2. Затраты труда	6	6	4	4	4	4	37	9	100	9	7	34,5	9,6						<=	80000
3. Солома на корм	-2,8	-2,8	-3,36	-3,36	-1,96	-1,96												1	<=	0
4. Корм. ед. - всего		-24		-29,04		-14	-10,15	-18	-36	-10	-14,4	41,70	17,92					-1	<=	8200
5. В т.ч.: концентраты		-24		-29,04		-14						6,26	3,05	1					<=	0
6. грубые										-10		10,43	4,84		1			-1	<=	1600
7. в т.ч. солома												2,09	1,25					-1	=	0
8. сочные							-10,15	-18	-36			7,51	4,30			1			<=	0
9. зелёные											-14,4	10,43	5,73				1		<=	6600
Сверх минимума: 10. концентраты												-2,09		1					<=	0
11. грубые												-2,92			1				<=	0
12. сочные												-2,92				1			<=	0
13. зелёные												-4,17					1		<=	0
14. Итого сверх мин.												-7,09		1	1	1	1		=	0
15. План прод. зерна	20		24		14														>=	65000
16. План прод. молока												24,84							>=	12000
17. Соотношение погол.												69,3	-30,7						=	0
18. Площадь пшеницы	0,3	-0,7	-0,7	-0,7	-0,7	-0,7													<=	0
19. Площадь карт. и корн.							1		1										<=	20
20. Пр-во картоф. тварн.							108,75												>=	0
F(x) - Стоим. тов. прод.	11200		9120		4480		163125					13662	12400						→	max