Задания для самостоятельной работы.
С помощью «» рассуждений доказать непрерывность функции
в точке
.Функция
не определена, значит, разрывна в точке
.
Можно ли доопределить её в этой точке
до непрерывности?Исследовать на непрерывность и изобразить графически функции
а)
,
б)
,
в)
.
Можно ли доопределить эти функции в точке до непрерывности?
4.
Как следует выбрать числа
и
,
чтобы функции
и
были непрерывными на всей числовой оси? Нарисовать графики.
5. Заданные функции исследовать на непрерывность и привести графическую интерпретацию характера разрыва.
1)
,
2)
3)
,
4)
,
5)
,
6),
7)
,
8)
,
9)
,
10)
,
11)
,
12)
7. Первый замечательный предел.
При вычислении пределов используется непрерывность элементарных функций в области их определения и теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного.
Пример 1. Вычислить
а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
а)
Так как функции и в числителе, и в
знаменателе непрерывны, то
,
.
В силу теоремы о пределе частного получаем
.
б)
Здесь
,
поэтому
.
в)
Так как
числитель стремится к конечному и
отличному от нуля пределу, а
знаменатель в точке
является бесконечно малой функцией, то
частное в этой точке
бесконечно большая функция:
=
.▲
Особое
внимание следует уделить случаю, когда
и числитель, и знаменатель стремятся к
нулю при
,
т.е. частное представляет в этой точке
неопределённость вида
.
Теорема.
Предельное
значение функции
в
точке
существует и равно единице (первый
замечательный предел):
.
(1)
Обращаем
внимание на тот факт, что отношение
стремится к единице только при стремлении
аргумента
к нулю. Это наглядно представлено на
графике функции
Еще
один рисунок наглядно показывает, как
мало различаются функции
и
в окрестности точки
( и только в окрестности этой точки).
Пределу
(1) можно придать другую форму, если
заменить
.
Тогда
,
при
,
поэтому
или
.
Теорема о пределе произведения позволяет получить ещё одну форму первого замечательного предела:
.
Значит, и
.
И
снова обращаем внимание на тот факт,
что
отношение
стремится
к единице
только
при стремлении
аргумента
к
нулю.
Это
наглядно представлено на графике функции
.
Е
ще
один рисунок наглядно показывает, как
мало различаются функции
и
в окрестности точки
( и только в окрестности этой точки).
Рекомендуем
нарисовать графики пар функций
и
;
и
.
Обратите внимание на близость этих
графиков для значений аргумента в
окрестности точки
=0.
Все
приведенные соотношения справедливы
и при замене
на
,
если
при
:
Если при вычислении предела отношения тригонометрических функций возникает неопределённость вида , то её можно раскрыть с помощью первого замечательного предела.
Пример
2. Вычислить
.
Решение.
.
Можно и не записывать замены аргумента, а просто уравнивать коэффициенты:
.▲
Пример
3. Вычислить
.
Решение.
.▲
Пример
4. Вычислить
.
Решение.
К
первому замечательному пределу приводит
формула
:
.▲
Пример
5. Найти
предел дроби
а) при
,
б) при
.
Решение.
а)
.
б)
.
Здесь аргумент
стремится не к 0, поэтому нельзя
непосредственно воспользоваться
формулой (1). Перенесём начало координат
в точку
,
т.е. сделаем замену
.
Тогда при
новая переменная
и можем записать
▲
Пример
6. Вычислить
.
Решение.
Здесь тоже необходима замена:
,
при
новая переменная
.
Тогда
.▲
Пример
7. Вычислить
.
Решение.
Здесь
можно было ввести новую переменную
,
которая стремится к 0 при
.
Но мы предлагаем преобразовать разность
синусов в произведение:
▲
Пример
8. Вычислить
.
Решение. После избавления от иррациональности получаем первый замечательный предел:
▲