Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.
Уравнение вида
(1)
называется общим уравнением прямой.
Угол
,
определяемый, как показано на рис.,
называется углом наклона прямой к оси
Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси
Ох называется угловым коэффициентом
прямой; его обычно обозначают буквой
k:
Уравнение
называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом;
k - угловой коэффициент, b - величина
отрезка, который отсекает прямая на оси
Оу, считая от начала координат.
Если прямая задана общим уравнением
,
то ее угловой коэффициент определяется по формуле
.
Уравнение
является
уравнением прямой, которая проходит
через точку
(
,
)
и имеет угловой коэффициент k.
Если прямая проходит
через точки
(
,
),
(
,
),
то ее угловой коэффициент определяется
по формуле
.
Уравнение
является уравнением прямой, проходящей через две точки ( , ) и ( , ).
Если известны
угловые коэффициенты
и
двух
прямых, то один из углов
между
этими прямыми определяется по формуле
.
Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:
.
Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение
,
или
.
Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
Функция двух переменных. Частные производные. Примеры решений.
На данном уроке мы продолжим знакомиться с функцией двух переменных и подробно рассмотрим, пожалуй, наиболее распространенное задание – нахождение частных производных первого и второго порядка, а также полного дифференциала функции. Студенты-заочники, как правило, сталкиваются с частными производными на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим наблюдениям, задание на нахождение частных производных практически всегда встречается на экзамене.
Для эффективного изучения нижеизложенного материала Вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? и Производная сложной функции. Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде. Раздобыть справочный материал можно на странице Математические формулы и таблицы.
Быстренько
повторим понятие функции
двух переменных, я постараюсь
ограничиться самым минимумом. Функция
двух переменных обычно записывается
как
,
при этом переменные
,
называются
независимыми
переменными
или аргументами.
Пример:
–
функция двух переменных.
Иногда
используют запись
.
Также встречаются задания, где вместо
буквы
используется
буква
.
С
геометрической точки зрения функция
двух переменных
чаще
всего представляет собой поверхность
трехмерного пространства (плоскость,
цилиндр, шар, параболоид, гиперболоид
и т. д.). Но, собственно, это уже больше
аналитическая геометрия, а у нас на
повестке дня математический анализ,
который никогда
не давал списывать мой вузовский
преподаватель
является моим «коньком».
Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.
Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас:
Пример 1
Найти
частные производные первого и второго
порядка функции
Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.
Обозначения:
или
–
частная производная по «икс»
или
–
частная производная по «игрек»
Начнем с . Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная считается константой (постоянным числом).
Решаем. На данном уроке я буду приводить полное решение сразу, а комментарии давать ниже.
Комментарии к выполненным действиям:
(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом.
Внимание,
важно!
Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу
решения. В данном случае, если Вы
где-нибудь нарисуете «штрих» без
,
то преподаватель, как минимум, может
поставить рядом с заданием
(сразу
откусить часть балла за невнимательность).
Далее данный шаг комментироваться не будет, все сделанные замечания справедливы для любого примера по рассматриваемой теме.
(2)
Используем правила дифференцирования
,
.
Для простого примера, как этот, оба
правила вполне можно применить на одном
шаге. Обратите внимание на первое
слагаемое: так как
считается
константой, а любую константу можно
вынести за знак производной,
то
мы
выносим за скобки. То есть в данной
ситуации
ничем
не лучше обычного числа. Теперь посмотрим
на третье слагаемое
:
здесь, наоборот, выносить нечего. Так
как
константа,
то
–
тоже константа, и в этом смысле она ничем
не лучше последнего слагаемого –
«семерки».
(3)
Используем табличные производные
и
.
(4) Упрощаем, или, как я люблю говорить, «причесываем» ответ.
Теперь . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная считается константой (постоянным числом).
(1)
Используем те же правила дифференцирования
,
.
В первом слагаемом выносим константу
за
знак производной, во втором слагаемом
ничего вынести нельзя поскольку
–
уже константа.
(2)
Используем таблицу производным
элементарных функций. Мысленно
поменяем в таблице все «иксы» на «игреки».
То есть данная таблица рАвно справедлива
и для
(да
и вообще почти для любой буквы).
В частности, используемые нами формулы
выглядят так:
и
.
Итак, частные производные первого порядка найдены
Подведем итог, чем же отличается нахождение частных производных от нахождения «обычных» производных функции одной переменной:
1) Когда мы находим частную производную , переменная считается константой.
2) Когда мы находим частную производную , переменная считается константой.