10. Множини. Поняття, приклади

Поняття множини відноситься до понять, які давно використовуються в різних науках. Розділ математики, в якому вивчаються властивості множин, незалежно від того, з яких елементів складаються ці множини, називається теорією множин. Ця наука уможливлює встановлення закономірностей, загальних властивостей для великої кількості різнорідних об’єктів. Разом з тим отримання узагальнених результатів означає одночасне отримання висновків і для кожного окремого об’єкта дослідження. Важливо підкреслити тісний взаємозв’язок теорії множин з іншими розділами математики, особливо з іншими підрозділами дискретного аналізу.

Незважаючи на те, що поняття множини широко використовується в різних науках, йому неможливо дати чітке формальне визначення, оскільки це поняття належить до фундаментальних, первинних, понять, введених в математику як узагальнення щоденного досвіду (таких як число, точка тощо).

Під множиною розуміють сукупність певних елементів (об’єктів будь-якої фізичної природи), які досить різняться, але мають деякі загальні властивості.

Про множину можна говорити лише тоді, коли її елементи підлягають розрізненню та визначенню. Для будь-яких предметів, що розглядаються як елементи деякої множини, має існувати можливість визначення їх відмінності чи подібності. Якщо ж задані певна множина та деякий предмет, то має бути можливість визначення, є даний предмет елементом множини чи ні. Отже, основним поняттям теорії множин є поняття належності елемента множині. Для позначення належності використовується символ . Для позначення множин використовуються великі літери А, B, C,… або великі літери з індексами А₁, А₂,…А_і,…; для позначення елементів множини використовуються малі літери a, b, c,… або малі літери з індексами a₁, a₂,…,a_i,… a  A (читається як а належить (міститься в) А або А містить а). Якщо а не належить А, то записується а  А, або а .

В загальному випадку множини задаються парою фігурних дужок, в середині яких перелічуються елементи множини. Наприклад:

A = {a₁, a₂, …, a_n} або А = {a_i}, i = 1,2, …, n — множина А складається з елементів a₁, a₂, …, a_n.

P = {p : p — працівник із зарплатою понад 500 грн} — множина всіх працівників із зарплатою понад 500 грн.

Залежно від кількості елементів усі множини поділяються на скінченні та нескінченні. Множина називається скінченною, якщо вона містить скінченну кількість елементів, тобто є реальна або потенціальна можливість перерахувати всі її елементи. Інакше кажучи, існує натуральне число, яке виражає кількість елементів множини. Наприклад, множина вершин трикутника, множина студентів в університеті тощо.

Відповідно, нескінченною називається множина, яка містить нескінченну кількість елементів, тобто не існує натурального числа, що дорівнює кількості елементів. Нескінченні множини, в свою чергу, поділяються на зліченні та незліченні (континуальні). Елементи зліченної множини можна поставити у відповідність ряду натуральних чисел. Наприклад, множина всіх парних, непарних, дробових, раціональних чисел тощо. Множину називають не більше, ніж зліченною, якщо вона є або скінченною, або зліченною. Елементи незліченної множини не можна підрахувати за допомогою натурального ряду (множина дійсних, ірраціональних чисел; множина точок на прямій, у квадраті; множина всіх підмножин зліченної множини).

До скінченних множин належить порожня множина, тобто множина, що не містить жодного елемента, яка позначається сим­волом . Створення такої множини зумовлено тим, що при визначенні тієї чи іншої множини неможливо наперед знати, містить вона елементи чи ні. Так, якщо штатний розклад підприємства передбачає наявність певної штатної одиниці, а насправді вона відсутня, то маємо приклад порожньої множини.

Кількість елементів множини називається її потужністю і позначається так: |A| — потужність множини А. Очевидно, що множина В(А), яка складається з усіх підмножин множини А (її називають булеаном множини А, або степеневою множиною), має потужність |B(A)| = 2^|A|. Наприклад, А = {1,2,3}, |A| = 3, B(A) = = {, {1}, {2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}, |B(A)| = 8.

Існує багато способів задання множини: перерахунок, опис, функція, обмеження тощо.

Якщо дві множини містять ті самі елементи, то їх називають рівними і позначають А = B.

Із означень випливає, що для будь-яких множин A, B та С,

якщо A = B, то В = А;

якщо А = В та В = С, то А = С.

Якщо кожен елемент множини А міститься в множині В, тоді кажуть, що множина А називається підмножиною множини В. Для запису підмножини використовують символи  та . А  В означає, що А міститься в В, або однакова з В, а А  В, що А міститься в В. Варто зауважити, що будь-яка множина є підмножиною самої себе А  А.