VI. Литература, рекомендованная преподавателю Основная:

1. Кремер Н.Ш. Высшая математика. Учебник для вузов. – М.ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

2. Григулецкий В.Г., З.В. Ященко. Учебное пособие для вузов. Ростов на Дону. Феникс, 2004 – 633 с.

3. Щипачев В.С.. Высшая математика: Учебник для вузов. – 5 изд., стер. - М.: Высшая школа, 2001. – 254 с.

4. Евграфов В.Г., Антошина Т.Н., Исаков С.Л. : Математика. Методические указания и контрольные задания – СПб, 2005. – 120 с.

5. Колебаев В.А. Математическая экономика. Учебник для вузов.- 2-е изд., перераб. и допол. – М.:ЮНИТИ – ДАНА, 2002. – 303 с.

Дополнительная:

1. Сборник задач по математике для вузов: Специальные разделы математического анализа /Под ред. А.В.Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. -342 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1973. -334 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.-

М.: Высшая школа, 2001. -342 c.

VII. Приложение

1. Содержательное описание темы занятия.

Разработал

Доцент кафедры прикладной математики и информационных технологий

А.Ю. Лабинский

1. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической (предполагаемой) генеральной дисперсией нормальной совокупности

Перед решением задач, связанных с рассматриваемым учебным вопросом, следует обсудить содержание сравнения исправленной выборочной дисперсии σ² с предполагаемой генеральной дисперсией нормальной совокупности σ₀².

Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H₀: σ² = σ₀², о равенстве неизвестной генеральной дисперсии σ² предполагаемому ее значению σ₀² при конкурирующей гипотезе H₁: σ² > σ₀² необходимо вычислить наблюдаемое значение критерия χ²:

χ²_набл = [(n-1)s²]/ σ₀².

После этого следует по таблице критических точек распределения χ² (таблица 2), по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k=n-1 найти критическую точку χ²_кр (α, k ).

Если χ²_набл < χ²_кр, - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если χ²_набл > χ²_кр, - нулевую гипотезу отвергают.

При конкурирующей гипотезе H₁: σ² ≠ σ₀² находят:

- левую критическую точку χ² _лев.кр(1-α/2, k ) и

- правую критическую точку χ² _{прав.кр}(α/2, k ).

Если χ² _лев.кр < χ²_набл < χ² _{прав.кр} , - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если χ²_набл < χ² _лев.кр или χ²_набл > χ² _{прав.кр} , - нулевую гипотезу отвергают.

При конкурирующей гипотезе H₁: σ² < σ₀² находят критическую точку χ² _кр(1-α, k ).

Если χ²_набл > χ²_кр(1-α, k ), - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если χ²_набл > χ²_кр(1-α, k ), - нулевую гипотезу отвергают.

Замечание: Если число степеней свободы k > 30, то критическую точку χ² _кр(α, k ) находят из равенства Уилсона-Гильферти:

χ² _кр(α, k ) = k[1-2/9k + z_α√2/(9k)]²,

где z_α находят, используя функцию Лапласа из равенства: Ф(z_α) = (1-2α)/2.

Таблица 2.

Критические точки распределения χ²

Число степеней свободы, k	Уровень значимости α
	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,89
1	6,6	5,0	3,8	0,0039	0,00098	0,00016
2	9,2	7,4	6,0	0,103	0,051	0,020
3	11,3	9,4	7,8	0,352	0,216	0,115
4	13,3	11,1	9,5	0,711	0,484	0,297
5	15,1	12,8	11,1	1,15	0,831	0,554
6	16,8	14,4	12,6	1,64	1,24	0,872
7	18,5	16,0	14,1	2,17	1,69	1,24
8	20,1	17,5	15,5	2,73	2,18	1,65
9	21,7	19,0	16,9	3,33	2,70	2,09
10	23,2	20,5	18,3	3,94	3,25	2,56
11	24,7	21,9	19,7	4,57	3,82	3,05
12	26,2	23,3	21,0	5,23	4,40	3,57
13	27,7	24,7	22,4	5,89	5,01	4,11
14	29,1	26,1	23,7	6,57	5,63	4,66
15	30,6	27,5	25,0	7,26	6,26	5,23
16	32,0	28,8	26,3	7,96	6,91	5,81
17	33,4	30,2	27,6	8,67	7,56	6,41
18	34,8	31,5	28,9	9,39	8,23	7,01
19	36,2	32,9	30,1	10,1	8,91	7,63
20	37,6	34,2	31,4	10,9	9,59	8,26
21	38,9	35,5	32,7	11,6	10,3	8,90
22	40,3	36,8	33,9	12,3	11,0	9,54
23	41,6	38,1	35,2	13,1	11,7	10,2
24	43,0	39,4	36,4	13,8	12,4	10,9
25	44,3	40,6	37,7	14,6	13,1	11,5
26	45,6	41,9	38,9	15,4	13,8	12,2
27	47,0	43,2	40,1	16,2	14,6	12,9
28	48,3	44,5	41,3	16,9	15,3	13,6
29	49,6	45,7	42,6	17,7	16,0	14,3
30	50,9	47,0	43,8	18,5	16,8	15,0

Задача 5.

Из нормальной генеральной совокупности о количестве наркоманов в районе извлечена выборка объема n = 21 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s² = 16,2.

Требуется: при уровне значимости α = 0,01, проверить нулевую гипотезу: H₀: σ² = σ₀² = 15, приняв в качестве конкурирующей гипотезы H₁: σ₀² > 15.

Решение:

Найдем наблюдаемое значение критерия:

χ²_набл = [(n-1)s²]/ σ₀² = [(21-1)*16,2]/ 15 = 21,6.

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид σ₀² > 15, поэтому критическая область в соответствии с правилами, изложенными выше, является правосторонней.

По таблице 2 для уровня значимости 0,01 и числа степеней свободы k = n – 1 = 21 – 1 = 20 находим критическую точку χ²_кр(0,01, 20) = 37,6.

Так как χ²_набл < χ²_кр, - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральной дисперсии гипотетическому значению σ₀² = 15. Другими словами, различие между исправленной дисперсией (16,2) и гипотетической генеральной дисперсией (15) незначимо.

Задача 6.

Эффективность работы следователей следственного отделения проверяется по дисперсии успешно завершенных уголовных дел (уголовных дел, переданных в суд), которая не должна превышать σ₀² = 0,1. Случайным образом отобраны 25 уголовных дел, в результате чего получен следующий статистический ряд:

Количество успешно завершенных уголовных дел, xi	3,0	3,5	3,8	4,4	4,5
Частота, ni	2	6	9	7	1

Требуется: при уровне значимости α = 0,05 проверить точность оценок эффективности работы следователей следственного отделения.

Решение:

Нулевая гипотеза: H₀: σ² = σ₀² = 0,1. Примем в качестве конкурирующей гипотезы H₁: σ₀² > 0,01.

Найдем исправленную выборочную дисперсию. Для упрощения расчета перейдем к условным вариантам. Приняв во внимание, что выборочная средняя примерно равна 3,9, положим

u_i = 10x_i – 39.

Распределение частот примет вид:

Количество успешно завершенных уголовных дел, ui	-9	-4	-1	5	6
Частота, ni	2	6	9	7	1

Найдем вспомогательную дисперсию условных вариант:

su² ={[∑n_iu_i² – (∑n_iu_i)²]/n}/(n-1).

Подставив данные задачи, получим: su² = 19,75.

Найдем искомую исправленную дисперсию:

s_X² = su²/10² = 19,75/100 = 0,2.

Найдем наблюдаемые значения критерия:

χ²_набл = [(n-1)s_X²]/ σ₀² = [(25-1)*0,2]/ 0,1 = 48.

Конкурирующая гипотеза имеет вид: σ² > σ₀², поэтому критическая область – односторонняя.

Найдем по таблице 2 критическую точку χ²_кр(0,05, 24) = 36,4.

Имеем χ²_набл > χ²_кр, следовательно, нулевую гипотезу отвергаем: точность оценок эффективности работы следователей не обеспечивается, требуется уточнение оценок.