VI. Литература, рекомендованная преподавателю Основная:

1. Кремер Н.Ш. Высшая математика. Учебник для вузов. – М.ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

2. Григулецкий В.Г., З.В. Ященко. Учебное пособие для вузов. Ростов на Дону. Феникс, 2004 – 633 с.

3. Щипачев В.С.. Высшая математика: Учебник для вузов. – 5 изд., стер. - М.: Высшая школа, 2001. – 254 с.

4. Евграфов В.Г., Антошина Т.Н., Исаков С.Л. : Математика. Методические указания и контрольные задания – СПб, 2005. – 120 с.

5. Колебаев В.А. Математическая экономика. Учебник для вузов.- 2-е изд., перераб. и допол. – М.:ЮНИТИ – ДАНА, 2002. – 303 с.

Дополнительная:

1. Сборник задач по математике для вузов: Специальные разделы математического анализа /Под ред. А.В.Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. -342 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1973. -334 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.-

М.: Высшая школа, 2001. -342 c.

VII. Приложение

1. Содержательное описание темы занятия.

Разработал

Доцент кафедры прикладной математики и информационных технологий

А.Ю. Лабинский

Пример 11.7.1

Предположим, было получено две последовательности успехов (1) и неудач (0)для двух игроков. Каждый из них играл 20 раз с равным количеством выигрышей (n = 10) и проигрышей (т = 10): п + т = 20.

Игрок № 1: 10000000011111 1011 1 0 - число серий W= 6 Игрок№2: 0 1010010101011010011 –число серий W= 16. В отношении первого игрока Н_о будет отклонена, если число серий слишком мало, а в отношении второго игрока — если число серий слишком велико. При отклоне­нии Н_о для первого игрока может быть сделан вывод о том, что достоверно чаще после успеха следует успех, а после проигрыша - проигрыш, а для второго игрока, что после проигрыша достоверно чаще следует выигрыш, и наоборот.

Проблема направленности гипотезы Н_о должна решаться еще до проведе­ния исследования. Понятно, что исследователя может интересовать любое отклонение от Н_о - как в сторону слишком малого, так и слишком большого числа серий W. Тогда необходима проверка ненаправленной гипотезы. Если же исследователя интересуют только малые значения W или только слишком большие значения W, то необходима проверка направленной гипотезы. Важ­ность предварительного определения направленности гипотезы обусловлена тем, что при одном и том же числе серий W р-уровень для направленной гипотезы будет в два раза меньше, чем для ненаправленной гипотезы. Любые сомнения в направленности гипотезы необходимо решать в пользу выбора ненаправлен­ной альтернативы.

Предположим, что для исследователя, получившего данные из примера 9.7, зара­нее не было известно, какая альтернатива будет приниматься в случае отклонения Н_о. Следовательно, должна проверяться ненаправленная Н_о, допускающая откло­нение Н_о как в случае слишком малого, так и в случае слишком большого числа серий W.

Точное распределение числа серий W при выполнении Н_о, следовательно, и точное значение р-уровня значимости для конкретного W (при конкретных значениях m и n) может быть получено с помощью комбинаторного анализа, например, при помощи компьютера.

При вычислениях на компьютере точное значение р-уровня может быть вычислено при выборе опции Exact... (Точно...) в диалоге анализа Runs... (Серии...) с последу­ющим заданием метода Monte Carlo. Так, для примера 9.7 точные значения p-уров­ня (для ненаправленных Н_о, двусторонние): для игрока № 1 р= 0,035; для игрока №2 р= 0,035.

Если численность т{п) < 20, то для проверки Н_о применяются таблицы кри­тических значений для числа серий.

Проверим ненаправленную Н_о в отношении двух игроков с использованием таб­лицы критических значений числа серий для а = 0,05 (приложение 5). Для этого достаточно соотнести эмпирическое значение числа серий с табличными значе­ниями (нижним W_0.025 и верхним W_0.0975)- Если эмпирическое значение меньше или равно W_0.025 или больше или равно W_0.0975 то Н_о отклоняется.

Шаг 1. Принимаем статистические решения. Для m = 10, п = 10: W_0.025=6; W_0.0975=16. Для игрока № 1: W_Э = 6, Н_о отклоняется. Для игрока № 2: W_Э=16, Н_о отклоняется.

Шаг 2, Формулируем содержательные выводы. Для игрока № 1: достоверно чаше после успеха следует успех, а после проигрыша - проигрыш (р < 0,05). Для игрока № 2: по­сле проигрыша достоверно чаще следует выигрыш, а после выигрыша - проигрыш.

Альтернативным способом определения p-уровня является применение Z-критерия серий, основанного на том факте, что число серий W при выполнении Н_о распределено приблизительно нормально с известными M_w и σ_w. Формула для определения эмпирического значения Z-критерия серий:

Ограничение на применение Z-критерия серий: т > 20, п > 20; т и п несуще­ственно различаются. Если т и п существенно различаются, то следует восполь­зоваться комбинаторным методом (например, Монте Карло в программе SPSS).

Пример 11.7.2

Предположим, исследуется динамика научения в игровом задании. Исследователь предполагает частые повторы проигрышей в начале и выигрышей - в конце пос­ледовательности игр (предполагается проверка направленной гипотезы). Игроком сыграно 40 партий, из них проиграно 20, выиграно 20, число серий 15. К концу последовательности игр наблюдается преобладание выигрышей. Проверим гипо­тезу с применением Z-критерия серий.

Шаг 1. Формулируем Н_о: число серий соответствует случайному распределению выигрышей в последовательности проигрышей (альтернативная H₁: число серий достаточно мало, чтобы говорить о неслучайном преобладании выигрышей в конце последовательности игр). Принимаем α= 0,05.

Ш а г 2. Вычислим эмпирическое значение Z-критерия для т = 20; п = 20; W_Э= 15:

Ш а г 3. Определим p-уровень. Для этого воспользуемся таблицей стандартных нор­мальных вероятностей (приложение 1). При использовании Z-pacпределения для проверки направленной гипотезы p-уровень равен площади Р под нормальной кри­вой справа от +Z_Э (слева от —Z_Э). Z_Э = 1,76 соответствует площадь Р = 0,039. Следо­вательно, р < 0,04.

Ш а г 4. Принимаем статистическое решение и формулируем содержательный вы­вод. Отклоняем Н_о: число серий статистически значимо мало. Содержательный вы­вод: к концу последовательности игр статистически достоверно возрастает частота выигрышей (р < 0,04).

Отметим, что если бы проверялась ненаправленная гипотеза, то найденное значе­ние вероятности Р = 0,039 следовало бы умножить на 2: р < 2Р. Следовательно, р < 0,078, и Н_о на уровне а = 0,05 не отклоняется.

Критерий серий применим для решения двух классов задач. Помимо ис­следования временной последовательности событий Х и У, или динамики из­менения количественного признака, метод может применяться и для проверки гипотез о различии между двумя выборками по уровню и изменчивости признака, измеренного в количественной шкале. В связи с этим применение метода требует решения проблемы преобразования исходных данных.

Проблема преобразования исходных данных. Как было отмечено, для приме­нения метода данные необходимо представить в виде одной бинарной пере­менной. В зависимости от задачи исследования и вида исходных данных это может быть сделано разными способами.

1. Если изучается динамика изменчивости количественного признака, то после упорядочивания значений признака в соответствии с временной после­довательностью выбирается один из способов перехода к бинарной шкале. Для метрических данных точкой деления (Cut point) обычно выступает среднее, а для ранговых данных — медиана. Значениям ниже точки деления присваива­ется 0, а значениям выше нее — 1. После такого преобразования возможно применение к переменной критерия серий.

2. Если изучается различие между выборками по уровню и (или) изменчи­вости количественного признака, то сначала объекты упорядочиваются по уровню выраженности изучаемой переменной. Затем объектам одной выбор­ки присваивается 0, а объектам другой — 1. Критерий серий применяется к полученной таким образом последовательности нулей и единиц. Преимуще­ство критерия серий, по сравнению с другими методами сравнения выборок, проявляется в том, что он позволяет выявить не только уровневые различия (в этом его чувствительность не очень высока), но и соотношение распреде­лений. Например, одно распределение может быть более компактным, чем другое.