1.7. Парадоксы

Определение 1.7.

Парадоксом называется умозаключение, все посылки которого логически корректны, истинны, а заключение при этом абсурдно.

В более широком смысле к парадоксам относят:

1) утверждения, которые кажутся ложными, но в действительности истинны;

2) утверждения, которые кажутся истинными, но в действительности ложны;

3) рассуждения, которые кажутся безупречными, но приводят к логическому противоречию (парадоксы этого типа обычно принято называть логическими ошибками);

4) утверждения, истинность или ложность которых недоказуемы.

К известным историческим парадоксам, сильнее всего повлиявшими на развитие математики, можно отнести, среди прочих, парадоксы Зенона и Галилея. Сформулируем их:

Парадоксы Зенона ( современным языком; показывают, что движение, образец «видимого» изменения, логически невозможно.)

- Дихотомия: Чтобы пересечь комнату, сначала нужно преодолеть половину пути. Но затем нужно преодолеть половину того, что осталось, затем половину того, что осталось после этого, и так далее. Это деление пополам будет продолжаться до бесконечности, из чего делается вывод, что вам никогда не удастся пересечь комнату.

-Ахилл и черепаха: Древнегреческий герой Ахилл собирается состязаться в беге с черепахой. Если черепаха стартует немного раньше Ахилла, то ему, чтобы ее догнать, сначала нужно добежать до места ее старта. Но к тому моменту, как он туда доберется, черепаха проползет некоторое расстояние, которое нужно будет преодолеть Ахиллу, прежде чем догнать черепаху. Но за это время черепаха уползет вперед еще на некоторое расстояние. А поскольку число таких отрезков бесконечно, быстроногий Ахилл никогда не догонит черепаху.

- Стрела : в каждый момент времени летящая стрела занимает место, равное ей по протяженности, следовательно она не движется.

- Стадион : две равные по длине колонны людей, движутся параллельно с равной скоростью в противоположных направлениях. Время, за которое колонны пройдут друг мимо друга, составляет половину времени, нужного одному человеку, чтобы пройти мимо всей колонны.

Парадокс Галилея.

P₁ Если X является (точным) подмножеством множества Y , то число элементов множества Х не совпадает с числом элементов множества Y

P₂ Если существует взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств X и Y, то у этих множеств одинаковое число элементов

P₃ Множество четных натуральных чисел – точное подмножество множества натуральных чисел

P₄ Существует взаимнооднозначное соответствие между элементами множества четных натуральных и (всех) натуральных чисел

_________

Тогда (Заключение) : Число элементов множества четных чисел не совпадает с числом элементов множества натуральных чисел и

Число элементов множества четных чисел совпадает с числом

элементов множества натуральных чисел, что является противоречием.

(Более подробно о множествах см Лекцию 2, о взаимнооднозначном соответствии Лекцию 9)

1.8. Высказывания, зависящие от параметра. Кванторы

Определение 1.8. (1)

Вместо слов "существует", "найдется", "имеется" в логических формулах употребляется символ (перевернутая первая буква английского слова exist — существовать), называемый символом (квантором) существования, а вместо слов "любой", "каждый", "произвольный", "какой бы ни" — символ (перевернутая первая буква английского слова all — "все"), называемый символом (квантором) всеобщности.

Так, запись х читается "существует x", а запись x — "любое x" или "для любого x" или "для всех x". Соответственно запись x, у, или, короче, х,у означает "существуют x и y", а запись x, y, или, короче, x,y — "любые x и у" или "для любых х и у".

Определение 1.8.(2)

Пусть A(x) – высказывание, причем при разных значениях x оно может иметь разную истинность. x носит название параметра, а A(x) – высказывания, зависящего от параметра.

Например, A = {x² > 5} для x=1 A(1) ложно, а для x = 11 A(11) – истинно.

Пример 1.8.

Если A(х) — утверждение "х — студент", а утверждение B(x) — "x учится

усердно", то утверждение x (A(x) B(x)) может быть интерпретировано как

"Все студенты учатся усердно". Точно так же, если A(х) — утверждение "х — кот", a B(x) — утверждение "х любит читать", то выражение x (A (x)˄ B(x)) может быть сформулировано как "Некоторые коты любят читать". Утверждение "Все люди смертны" логически может быть выражено как x (A(x) B(x)), где A(х) — утверждение "х — человек", a B(x) — утверждение "х смертен". Аналогично, утверждение "Некоторые целые числа делятся на 5" может быть записано x (A (x)˄ B(x)), где A(х) — утверждение "х

— целое число", a B(x) — утверждение "х делится на 5". Обычно логические выражения, содержащие x, можно превратить в утверждения, содержащие "для всех", а логические выражения, содержащие x, можно обратить в утверждения, содержащие "для некоторого".

В силу такого характера перевода с языка логики на естественные языки и обратно, отрицание утверждения типа "для всех" есть утверждение типа "для некоторого", а отрицание утверждения типа "для некоторого" есть утверждение типа "для всех". Например, отрицание утверждения «Все целые числа являются простыми» есть утверждение Некоторые целые числа не являются простыми, а отрицание утверждения «Некоторые студенты любят ходить на вечеринки» есть утверждение «Все студенты не любят ходить на вечеринки».

Иначе говоря:

Пусть Â = A(x), истинное для всех x, не зависит от параметра

Ă = A(x), истинное хотя бы для одного значения параметра x

 = ( x : A(x) истинно)

Ă = ( x : A(x) истинно)

Построим теперь для них отрицания.

˥ Â = (A ложно хотя бы для одного значения x)

Т.е. ( x : A(x) ложно) = ( x : ˥A(x) истинно)

˥( x : A(x) истинно) = ( x : ˥A(x) истинно)

˥ Ă = (A ложно для всех значений x)= ( x : A(x) истинно)

˥( x : A(x) истинно) = ( x : ˥A(x) истинно)

Замечание 1.8.

Обратите внимание, что при отрицании A(x) меняется на ˥A(x) , квантор на и наоборот, квантор на .