1. Для второго уравнения общее решение имеет вид

В силу симметрии аксиальной составляющей поля нейтронов относительно центра активной зоны следует, что

Соответствующие собственные числа и собственные функции задачи находим из решения краевых условий

где _n – корни функции Бесселя нулевого порядка.

Отбрасывая все знакопеременные гармоники, получим геометрический параметр для цилиндрической активной зоны

а условие критичности будет иметь вид

Заметим, что если радиус цилиндра удовлетворяет условию , то критичность реактора достигается при H. При этом мы получаем решение для бесконечного цилиндра

Если радиус цилиндра будет меньше величины , то, ни при каком значении H высоты цилиндра, такая активная зона не будет критичной. Это один из примеров некритического объема, при котором возможно безопасное хранений размножающего материала. Аналогично, если высоту цилиндра взять из условия , то критичность такого реактора достигается только при бесконечно большом радиусе цилиндра. В этом случае мы получаем решение задачи на критичность для бесконечной пластины толщиной H

Отметим, что в этом случае критический размер пластины равен критическому размеру шара, однако для шара критический объем конечен, а для пластины – бесконечен

1. Реактор в форме параллелепипеда

Рассматривается активная зона в форме прямоугольного бруса с длинами сторон соответственно a, b и c. Для трехмерной прямоугольной геометрии уравнение Гельмгольца

Применяя к этой задаче метод разделения переменных

2

преобразуем исходное уравнение в систему трех обычных дифференциальных уравнений

решение каждого из которых аналогично решению для одномерной пластины. С учетом граничных условий общее решение для прямоугольного параллелепипеда запишем в виде

Критическое условие принимает вид

Сравним между собой минимальные критические размеры реакторов различных геометрических форм для одной и той же размножающей среды, характеризующейся материальным параметром ². Для реактора сферической формы

Для конечного цилиндра и прямоугольного параллелепипеда критическое условие может выполняться при различных соотношениях между радиусом и высотой цилиндра или сторонами параллелепипеда, а, следовательно, при разных объемах.

Найдем оптимальное соотношение между высотой и радиусом цилиндра, исходя из условия минимальности критического объема. Математически задача формулируется следующим образом:

Из условия критичности выразим R² как функцию H и подставим в выражение для объема цилиндра. В результате мы сведем исходную задачу с двумя переменными к задаче на минимум функции одной переменной, а именно, высоты реактора. Для этой задачи условие минимальности формулируется обычным образом.

Довольно очевидно, что для прямоугольного параллелепипеда условие оптимальности размеров дается соотношением a=b=c (условие симметрии), а минимальный критический объем имеет куб, для которого

Итак, можно записать отношение минимальных объемов шара, куба и цилиндра при заданном материальном параметре размножающей среды 