IV. Способы построения графиков.

Способ 1. На основе преобразований графиков элементарных функций.

Задание

Приведите пример функции для каждого преобразования и постройте графики функций для всех составленных примеров.

№	Функция	Основная функция	Преобразования	Пример
	у = f (х + т).	у = f (х).	Перенос на вектор с координатами (–т; 0)	у =
	у = f (х) + п.	у = f (х).	Перенос на вектор с координатами (0; п)	у =
	у = Аf (х), А > 0	у = f (х).	Изменение каждой ординаты в А раз	у =
	у = Аf (х), А < 0	у = f (х).	Изменение каждой ординаты в А раз и симметрия относительно оси Ох	у =
	у = f (kх).	у = f (х).	Изменение каждой абсциссы в 1/ k раз	у =
	у = f (х)	у = f (х).	Отражение отрицательных значений функции симметрично относительно оси Ох	у =
	у = f (х)	у = f (х).	Отражение значений функции при положительных значениях аргумента симметрично относительно оси Оу	у =
	у = f (х)	у = f (х).	Последовательное выполнение преобразований 8 и 7	у =

Способ 2. На основе использования производной.

Самостоятельно: Построить график функции f (x) = х³ + 3х² – 9х + 1.

Совет: по исследованию функции с помощью производной постройте экстремумы функции и «прикиньте» эскиз графика; выберите значения х, которые могут уточнить эскиз графика, и найдите для них значение функции.

Способ 3. По характерным точкам.

Для квадратичной функции характерными точками являются точки:

1. вершина параболы:

абсциссу вершины считают по формуле: ;

ординату вершины у_в вычисляют при найденном значении х_в

2. точки пересечения с осями координат

с осью Ох: составляют и решают уравнение у = 0; если D > 0, то получатся точки (х₁;0), (х₂; 0); если D =0, то получится одна точка (х₁; 0), если D < 0, то делают вывод, что пересечений с осью Ох нет;

с осью Оу: вместо х подставляют число 0 (х = 0); находят значение у = с, делают вывод, что точка (0; с) является точкой пересечения с осью Оу;

3. дополнительные точки (выбираются произвольно и учитывается симметричность параболы относительно прямой, проходящей через ее вершину и перпендикулярную оси Ох).

Самостоятельно: Выделить характерные точки для тригонометрических функций; выбрать пример функции и построить ее график по характерным точкам.

По теме «Функции в шкм» нужно знать алгоритмы:

1. Как определить по формуле функции ее область определения?

2. Как определить по формуле функции ее нули?

3. Как доказать по формуле функции ее возрастание на некотором промежутке?

4. Как доказать по формуле функции ее убывание на некотором промежутке?

5. Как определить по формуле функции промежутки ее знакопостоянства?

6. Как определить по формуле функции, является ли функция четной?

7. Как определить по формуле функции, является ли функция нечетной?

8. Как найти область определения функции вида у = ? у = ? у = log_af(x)?

9. Как построить график функции у = f (х – а), имея график функции у = f (х)?

10. Как построить график функции у = f (х ) + а, имея график функции у = f (х)?

11. Как построить график функции у = Аf (х), если А > 0, имея график функции у = f (х)?

12. Как построить график функции у = Аf (х), если А < 0,имея график функции у = f (х)?

13. Как построить график функции у = f (kх), имея график функции у = f (х)?

14. Как построить график функции у = а (х – т)² + п?

15. Какова схема построения графика функции у = f (х)?

16. Какова схема построения графика функции у = f (х)?

17. Какова схема построения графика функции у = f (х)?

18. Как построить график функции у = sinx; y = cosx; y = tgx; y = ctgx.

19. Какова схема построения графика кусочно-заданной функции? (по материалам практического занятия).

50