Гиперболоиды
Существуют два вида эллиптических гиперболоидов: однополостный и двуполостный.
Определение 12.4. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая определяется уравнением:
.
1. Рассмотрим сечение его координатной плоскостью Оxz (у = 0). Это сечение определяется уравнениями:
Эта кривая представляет собой гиперболу, расположенную симметрично относительно осей Oх и z. Знак " – " указывает, что действительные полуоси гиперболы расположены на оси Ох, их величина равна а (рис. 12.8), мнимой осью служит ось Oz.
2. Сечение плоскостью Оyz (х = 0) определяется уравнениями:
Это - гипербола с действительной осью Oу, соответствующая действительная полуось равна b, мнимой осью служит ось Oz.
3. Теперь рассмотрим сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости Oху, т.е. плоскостями вида z = h.
Сечение определяется уравнениями:
Отсюда видно, что:
1
)
любая плоскость z = h пересекает гиперболоид
по эллипсу с полуосями:
2) величины a, b имеют наименьшие значения при h = 0, т.е. на координатной плоскости Оху:
a* = a, b* = b;
если
,
то
,
.
На рис.12.8 представлен вид однополостного гиперболоида. Если a = b, то получится однополостный гиперболоид вращения.
Определение 12.5. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая уравнением
.
1. Сечение плоскостью oxz (у = 0) определяется уравнениями:
Это - гипербола с действительной осью Oz, соответствующая действительная полуось равна с, мнимой осью служит ось Oх (рис. 12.9).
2
.
Сечение плоскостью Oyz
(х = 0) определяется уравнениями:
Это - гипербола с действительной осью Oz, соответствующая действительная полуось равна с, мнимой осью служит ось Oу.
3. Рассмотрим сечение плоскостью z = h.
Сечение определяется уравнениями:
(12.7)
Отсюда видно, что:
1)
если
h
c, то плоскость z = h пересекается
гиперболоидом по эллипсу с полуосями:
а*=
а
,
в*= в
;
2) при возрастании h величины а*, в* возрастают;
3) если h , то а*, в* ;
4) если h с, то а* 0, в* 0;
5) при h С уравнения (12.7) не имеют действительных решений, определяют так называемый "мнимый эллипс", т.е. плоскость z = h не пересекает поверхность гиперболоида.
Если a = b, то получится двуполостный гиперболоид вращения, при пересечении его плоскостями z = h получаются окружности с центром на оси Oz.
Параболоиды
При вращении параболы
x2 = 2pz (12.8)
вокруг оси Оz получается поверхность, называемая параболоидом вращения.
Его уравнение получится из уравнения (12.8) путём замены в нём переменной x на выражение :
x2 + y2 = 2pz.
В
сечении параболоида вращения плоскостью
z = h (ясно, что h
0), перпендикулярной оси Оz, получается
окружность (рис. 12.10), уравнения которой
будут иметь вид:
(12.9)
Радиус
окружности равен r =
,
а центр ее лежит на оси Oz.
При изменении h от 0 до +
окружность (12.9) будет описывать
поверхность, называемую параболоидом
вращения.
Возьмём вместо окружности (12.9) эллипс:
(12.10)
где
p, q, h – некоторые положительные числа.
Полуосями полученного эллипса будут
отрезки a
=
.
При изменении h от 0 до +
эллипс описывает поверхность, называемую
эллиптическим
параболоидом.
Его уравнение получается из уравнений (12.10) путём исключения h:
,
или
.
(12.11)
Пересекая эту поверхность плоскостью z = 0, получим в сечении точку (начало координат). Пересекая эту поверхность плоскостями y = 0, x = 0, получим в сечении соответственно две параболы:
Параболоид имеет две плоскости симметрии: x = 0 и y = 0, которые, пересекаясь, дают его ось симметрии (ось Оz).
Исследуем поверхность параболоида методом сечений.
1) Как уже было отмечено, при пересечении параболоида координатными плоскостями х = 0 и у = 0 получаются две параболы, при z = 0 имеем точку О.
2) Сечение плоскостью z = h (h > 0) определяется уравнениями:
Это
- эллипс с полуосями a =
и b =
.
В случае p = q получим параболоид вращения:
2pz = x2 + y2.
Поскольку x и y входят в уравнение (12.11) в четных степенях, эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии: Оxz и Оyz.
Вопросы на понимание основных понятий:
1. Какое уравнение называется каноническим уравнением конуса?
2. Какое уравнение называется каноническим уравнением эллипсоида?
3. Какое уравнение называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида?
4. Какое уравнение называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида?
6. Какое уравнение называется каноническим уравнением параболоида вращения?