1.2.2. Понятие о сложной функции

Иногда зависимость между функцией и аргументом описывают в несколько этапов: y=f(u(x)). Такие функции называют сложными, при этом f называют функцией, u - промежуточным аргументом, х - конечным аргументом.

Отметим, что промежуточных аргументов может быть несколько. Например, функцию можно записать следующим образом: Здесь U, V - промежуточные аргументы.

1.3. Введение в теорию пределов

Понятие предела является одним из основных в математическом анализе, т.к. с ним непосредственно связаны понятия производной, интеграла и т.д.

1.3.1. Предел переменной величины

Определение. Будем говорить, что х стремится к постоянному а (имеет а своим пределом), если, каково бы ни было , в процессе изменения х наступает момент, начиная с которого .

Поскольку неравенство эквивалентно двойному неравенству , предыдущее определение означает, что для любого сколь угодно малого >0 в процессе изменения х наступает момент, начиная с которого все значения х оказываются в интервале :

В силу произвольности  этот интервал может уменьшаться как угодно, но качественно картина не изменится.

Интервал (a-,a+) называют  - окрестностью точки а.

Тот факт, что х стремится к а, записывают одним из следующих способов:

или a=limx.

Таким образом, ха тогда и только тогда, когда в процессе изменения х наступит момент, начиная с которого все значения х попадут в  - окрестность точки а, каково бы ни было >0.

Определение. Мы будем говорить, что х является бесконечно большим и записывать или lim x= , если, каково бы ни было М>0, в процессе изменения х наступит момент, начиная с которого х>М.

Мы будем писать или , если х - бесконечно большая величина, сохраняющая указанный знак.

Пример. , где n - натуральный аргумент.

1.3.2 Предел функции при ха

Определение. Мы будем говорить, что число b является пределом функции y=f(x) при xa, и записывать если по любому сколь угодно малому >0 найдется так, что , как только .

Поскольку неравенства f(x)-b  и x-a  <  равносильны неравенствам соответственно, то предыдущее определение можно перефразировать следующим образом: b= тогда и только тогда, когда по любому сколь угодно малому >0 найдется так, что все значения f(x) содержатся в  - окрестности точки b для аргументов, выбранных из  - окрестности точки а.

Геометрически это означает, что точка (x,f(x)) попадает в заштрихованный прямоугольник (см.рис. 1.11), для всех х, выбранных из  - окрестности точки а.

Ясно, что, уменьшая , мы лишь ”измельчаем масштаб”, но качественно картина остается такой же.

1.3.3. Односторонние пределы

Определение. Число b будем называть левым (правым) односторонним пределом функции y=f(x) при xa, если по любому сколь угодно малому найдется так, что как только .

Тот факт, что число b является левым (правым) односторонним пределом функции y=f(x) при xa условимся обозначать следующим образом:

.

Ясно, что .

Понятиям односторонних пределов можно дать геометрическое истолкование, аналогичное данному выше для понятия при ха. Именно:

Точка (x,f(x)) содержится в “левом” прямоугольнике, как только , для левого одностороннего предела.

Точка (x,f(x)) содержится в “правом” прямоугольнике, как только , для правого одностороннего предела.

Сравнивая определения предела функции при xa и односторонних пределов, приходим к следующему утверждению:

Теорема. Число b является пределом функции y=f(x) при ха тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела f(x) при и при этом оба они равны b.