2. Операции над событиями.
Для упрощения записи и возможности логического построения рассуждений в теории вероятностей вводятся операции над событиями. Это операция сложения и операция умножения событий. Рассмотрим каждую из них.
2.1.Сумма событий.
Определение: Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.
Сумма событий А и В обозначается : А+В.
Если события А и В совместные, то их сумма означает наступление А или В, или их совместное появление. Изобразим графически данную операцию с помощью диаграмм Эйлера- Венна:
Если А и В несовместные события, то А+В означает наступление события А или события В. Соответствующая диаграмма :
Пусть испытание- бросание кубика. Событие А- выпадение четного количества очков, В- нечетного, С - выпадение очков менее 4-х. Тогда событие А+В- выпадение четного или нечетного количества очков, т.к. эти события несовместны; событие C+В(совместые события)- выпадение нечетных очков или выпадение очков менее 4-х, или одновременное наступление событий C и В - выпадение 3-х или одного очка.
2.2. Произведение событий.
Определение: Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в их совместном наступлении в результате испытания.
Обозначение произведения событий : АВ
Соответствующая диаграмма:
Пусть событие А- из колоды карт вынут "валет", событие В- вынута карта бубновой масти, тогда событие АВ означает их совместное наступление, а именно, что вынут бубновый "валет".
Испытание- бросание кубика. События: А- выпадение четного количества очков, В- выпадение очков, кратных трем. Тогда событие АВ- выпадение шести очков.
Используя операции сложения и умножения событий можно сложное событие разложить на более простые и наоборот.
Пример. Пусть некоторый прибор состоит из трех независимо работающих элементов. Испытание -работа элементов прибора в течении некоторого отрезка времени. Обозначим события: А1- поломка первого элемента в течении указанного времени, А2- поломка второго, А3- поломка третьего. Рассмотрим противоположные им события : А1, А2, А3 - бесперебойная работа соответственно первого, второго и третьего элементов. Записать с помощью операций событие: а) только второй элемент выйдет из стоя за время работы; б) только один элемент выйдет из строя; в) какие-либо два элемента выйдут из строя; г) все элементы выйдут из строя; д)ни один элемент не выйдет из строя; е) хотя бы один элемент выйдет из строя.
Решение: а) Это событие означает совместное наступление трех событий: А1 -бесперебойная работа первого элемента и А2 -поломка второго и - А3 работа третьего. Этому событию соответствует выражение- А1А2 А3
б) Это событие означает поломку или первого, или второго , или третьего. Поломка первого-А1А2 А3 ; поломка второго-А1А2 А3 ; поломка третьего- А1А2 А3 Событие- только один элемент выйдет из строя- это сумма описанных событий, являющихся несовместными, ему соответствует выражение
А1А2 А3+А1А2 А3+А1А2 А3.
в) Это событие можно представить как сумму несовместных событий : произошла поломка первого и второго, а третий -работает А1А2 А3 ; поломка первого и третьего и работа второго А1А2 А3 ; поломка второго и третьего и работа первого А1А2 А3 . Искомое событие - А1А2 А3+ А1А2 А3+А1А2 А3.
г) Это совместное наступление событий -поломка первого и второго и третьего, а значит их произведение : А1А2А3;
д) Это совместное наступление событий - работа первого и второго и третьего, а значит их произведение А1А2 А3.
е) Это событие означает поломку или одного, или двух, или всех трех элементов. Этому событию соответствует выражение: А1+А2+А3 или А1А2 А3+ А1А2 А3+А1А2 А3+ А1А2 А3+ А1А2 А3+А1А2 А3+А1А2А3. Но это событие является противоположным событию - ни один элемент не выйдет из строя, тогда его можно записать в виде:
