2. Пример расчета разветвленной электрической цепи синусоидального тока

Схема соединений цепи синусоидального тока показана на рис. 7.

В первом участке цепи содержится активно–емкостный приемник, представленный в схеме замещения идеальным резистором с сопротивлением R₁ и емкостным элементом с емкостью С₁. Во втором участке содержится приемник, представленный резистором с сопротивлением R₂. Третий участок содержит активно–индуктивный приемник, представленный в схеме замещения резистором с сопротивлением R₃ и индуктивным элементом с индуктивностью L_3. Цепь подключена к сети синусоидального напряжения U.

Рис. 7. Развернутая схема замещения заданной электрической цепи

Параметры всех элементов схемы замещения и напряжение источника заданы:

R₁ = 7,0 Ом;

C₁ = 454,7 мкФ;

R₂ = 9,0 Ом;

R₃ = 6,0 Ом;

L₃ = 25,46 мГн;

Напряжение сети U = 127 В;

Частота сети f = 50 Гц.

Задание:

1. Рассчитать токи, напряжения, активные, реактивные и полные мощности, сдвиги фаз каждого участка цепи;

2. Вычислить ток, активную, реактивную и полную мощности всей цепи, а также cosφ всей цепи;

3. Построить совмещенную векторную диаграмму токов и напряжений рассматриваемой цепи;

4. Провести анализ результатов расчета с использованием векторной диаграммы.

Решение:

Упрощенная схема заданной цепи может быть изображена, как показано на рис. 8.

Рис. 8. Упрощенная схема замещения заданной электрической цепи

Здесь - полные комплексные сопротивления ветвей (участков цепи), определяемые параметрами элементов в соответствующих ветвях соотношениями (5), (7), (13).

В алгебраической форме записи:

; (22)

; (23)

. (24)

Полные комплексные сопротивления ветвей в показательной форме записи:

; (25)

; (26)

. (27)

При решении задачи методом эквивалентных преобразований вторая и третья ветви могут быть заменены одной эквивалентной ветвью (рис. 9) с полным комплексным сопротивлением , равным

. (28)

При этом схема цепи преобразуется к виду, показанному на рис. 9.

Рис. 9. Эквивалентное преобразование двух параллельных ветвей

На следующем этапе эквивалентного преобразования два последовательно соединенных элемента в схеме на рис. 9 заменяются эквивалентным с полным комплексным сопротивлением , равным

.

(29)

При этом схема преобразуется к простейшему виду, эквивалентному всей цепи (рис. 10).

Рис. 10. Схема замещения, эквивалентная всей цепи

Далее, следуя в обратном порядке по этапам эквивалентных преобразований, определяются необходимые токи и напряжения по закону Ома в комплексном виде.

При этом комплексное напряжение сети

, (30)

где U – действующее значение напряжения сети, величина которого задана (U = 127В);

ψ_u – начальная фаза напряжения сети.

Начальная фаза напряжения в задании не определена, т.е. не задан начальный момент времени отсчета синусоидальных токов и напряжений. В этом случае начальная фаза напряжения может быть задана произвольно. Она будет определять начальный момент времени отсчета. Удобно задать начальную фазу равной нулю (ψ_u=0). Тогда комплексное напряжение сети:

. (31)

По закону Ома для схемы на рис. 10 :

. (32)

Для схемы на рис. 9 отдельно для каждого из двух участков цепи:

; (33)

. (34)

Для исходной схемы на рис. 8 для второй ветви по закону Ома:

; (35)

для третьей ветви:

. (36)

Таким образом, выражения (31) – (36) определяют токи и напряжения на всех участках заданной электрической цепи.

Для составления баланса мощности определим мощности всех элементов цепи.

При этом активная мощность резистора определяется его сопротивлением и квадратом действующего значения тока в этом резисторе в соответствии с (15). В частности:

; (37)

; (38)

. (39)

Активная мощность всей цепи определяется суммой активных мощностей всех резисторов:

. (40)

Реактивная мощность индуктивных и емкостных элементов также определяется их сопротивлением и квадратом действующего значения тока в этих элементах. В частности для рассматриваемой цепи:

; (41)

. (42)

Реактивная мощность всей цепи определяется мощностью индуктивного и емкостного элементов в соответствии с (16):

. (43)

Полная мощность цепи в соответствии с (17) и треугольником мощности:

. (44)

С другой стороны, полная мощность, создаваемая источником, определяется в соответствии с (14) произведением действующих значений напряжения сети U и тока I₁ потребляемого всей цепью из сети:

. (45)

Из сопоставления результатов (44) и (45) видно, что баланс полной мощности сходится.

Коэффициент мощности всей цепи

. (46)

При этом характер всей цепи активно–емкостный, т.к. реактивная мощность отрицательна.

Для графического анализа полученного результата строится векторная диаграмма. Векторная диаграмма строится по результатам расчетов токов и напряжений на всех участках рассматриваемой цепи.

При этом длина вектора в масштабе отражает величину тока или напряжения (I, U), а направление вектора (угол между вектором и вещественной осью) отражает начальную фазу (ψ_i , ψ_u).

Построенная векторная диаграмма показана на рис.11 .

Рис. 11. Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений

Векторная диаграмма позволяет достаточно просто и наглядно оценить достоверность полученных результатов.

В частности, как видно из векторной диаграммы, на первом участке цепи напряжение U₁ отстает по фазе от тока I₁ на 45^о. Т.е. сдвиг фаз φ₁ = –45^о. Это соответствует заданному активно–емкостному характеру приемника в первом участке цепи и аргументу комплексного полного сопротивления первой ветви в (25).

Векторы тока второй ветви I₂ и напряжения на этой ветви U_2-3 направлены одинаково, т.е. сдвиг фаз второй ветви φ₂=0. Это соответствует заданному активному характеру второй ветви и аргументу комплексного полного сопротивления второй ветви в выражении (26).

Вектор тока I₃ повернут относительно вектора напряжения на этой ветви U_2-3 в сторону отставания на угол 53^о. Это соответствует разности фаз для заданного активно–индуктивного приемника φ₃=53^о и аргументу комплексного полного сопротивления третьей ветви в выражении (27).

Полный ток цепи I₁ опережает по фазе напряжение сети U на угол 22^о. Это также свидетельствует об активно–емкостном характере всей цепи и соответствует аргументу полного комплексного сопротивления всей цепи в выражении (29).

Кроме того на векторной диаграмме может быть проверено соотношение токов ветвей по первому закону Кирхгофа и соотношение напряжений по второму закону Кирхгофа. В частности, в рассматриваемой цепи должно выполняться равенство:

, или в векторной форме . (47)

На векторной диаграмме это соотношение показано пунктиром.

Для напряжений соблюдается равенство:

, или в векторной форме . (48)

Это соотношение также показано на векторной диаграмме пунктиром.

Проведенный анализ свидетельствует о достоверности результатов расчета.