Вариант № 3.

1. Р ешить систему уравнений: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) методом обратной матрицы

4x – 3y + 2z = 9,

2x + 5y – 3z = 4,

5x + 6y – 2z = 18.

2. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ : А₁(4;6;5), А₂(6;9;4), А₃(2;10;10), А₄(7;5;9). Найти: 1)длину вектора А₁А₂;

2)угол между векторами А₁А₂ и А₁А₄;

3)площадь грани А₁А₂А₃;

4)объем пирамиды;

5)уравнение прямой А₁А_2.

3. Даны вершины А(5;-1), В(1;-4), С(-4;8) треугольника АВС. Требуется найти:

а) длину стороны АВ; б) уравнение стороны АВ;

в) уравнение медианы ВЕ, проведенной из вершины В;

г) уравнение высоты CD, проведенной из вершины С;

д) длину h высоты CD; е) площадь треугольника АВС. Сделать чертеж.

4. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от точки А(2: 0) и от прямой

5x + 8 = 0 относятся как 5:4.

5. Линия задана уравнением r = 4/(2 - 3cos) в полярной системе координат. Требуется: построить линию по точкам, начиная от =0 до =2 и придавая  значения через промежуток /8; найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;по полученному уравнению определить вид линии.

6. Дано комплексное число Требуется:

а) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;

б) найти все корни уравнения a³ + z = 0.

7. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1) 2) 3) 4)

8. Найти производные следующих функций.

1) 2) 3) 4)

5)

9. Найти 1) 2)

10. Найти приближенное значение с помощью дифференциала соответствующей функции.

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = x⁴ + 4x на отрезке .

12. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

13. Найти частные производные до второго порядка включительно ( ) заданной функции:

14. Найти градиент функции в точке

15. Найти производную функции в точке по направлению к точке

16. Найти производные и функции ,где

17. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке

18. Найти точки экстремума функции

Вариант № 4.

1. Решить систему уравнений. а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) методом обратной матрицы

x + y + 2z = -1,

2x – y + 2z = -4,

4x + y + 4z = -2.

2. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ : А₁(3;5;4), А₂(8;7;4), А₃(5;10;4), А₄(4;7;8). Найти:

1)длину вектора А₁А₂;

2)угол между векторами А₁А₂ и А₁А₄;

3)площадь грани А₁А₂А₃;

4)объем пирамиды;

5)уравнение прямой А₁А₂.

3. Даны вершины А(6;0), В(2;-3), С(-3;9) треугольника АВС. Требуется найти:

а) длину стороны АВ; б) уравнение стороны АВ;

в) уравнение медианы ВЕ, проведенной из вершины В;

г) уравнение высоты CD, проведенной из вершины С;

д) длину h высоты CD; е) площадь треугольника АВС. Сделать чертеж.

4. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(4; 0), чем

от точки В(1; 0).

5. Линия задана уравнением r = 4/(2 - 3cos) в полярной системе координат. Требуется: построить линию по точкам, начиная от =0 до =2 и придавая  значения через промежуток /8; найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;по полученному уравнению определить вид линии.

6. Дано комплексное число Требуется:

а) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;

б) найти все корни уравнения a³ + z = 0.

7. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

1) 2) 3) 4)

8. Найти производные следующих функций.

1) 2) 3) 4) 5)

9. Найти 1) 2)

10. Найти приближенное значение с помощью дифференциала соответствующей функции.

11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 2sin x – sin 2x на отрезке .

12. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

13. Найти частные производные до второго порядка включительно ( ) заданной функции:

14. Найти градиент функции в точке

15. Найти производную функции в точке по направлению к точке

16. Найти производные и функции ,где

17. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке

18. Найти точки экстремума функции