5. Матрица перехода от старого базиса к новому. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

6. Определение евклидова пространства. Следствие из аксиом. Примеры.

Линейное конечномерное пространство на множестве называется Евклидовым, если на нем задано скалярное произведение.

Аксиомы(Лена, я тебя очень люблю(твой Сергей)):

1.

2.

3.

4.

Следствие из аксиом:

1.

2.

3. .

7. Неравенство Коши-Буняковского.

Теорема: Пусть - элементы Евклидового пространства, тогда , причем знак равно возможен, только если - линейно зависимы.

Доказательство :утверждение теоремы очевидно при , или . Пусть далее . Рассмотрим вектор , где - некоторое неопределенное число.

- согласно утверждению аксиомы. (Лена, я тебя очень люблю(твой Сергей))

.

Возьмем , , , . т.к. .

Согласно аксиоме 4 , если , т.е. , т.е. - линейно зависимы, .

8. Определение и свойства нормы в Евклидовом пространстве.

Пусть - вектор из Евклидового пространства. Нормой вектора называется число . В частности для пространства норма будет выглядеть так: . Неравенство Коши-Буняковского можно переписать так .

Свойства нормы:

1. , причем , когда (4-ая аксиома скалярного произведения)

2. (2-ая аксиома скалярного произведения)

3. Неравенство треугольника: .

Доказательство: ,

. Извлекаем квадратный корень из квадратного неравенства, получаем: .

9. Определение и свойства расстояния в Евклидовом пространстве.

Пусть - 2 вектора из Евклидового пространства. Расстоянием между будет называться .

,

,

.

Свойства:

1. , , .

2. ,

3. Неравенство треугольника - для любого .

Доказательство:

.

10. Угол между векторами в Евклидовом пространстве. Ортогональность и свойства.

Неравенство Коши-Буняковского можно переписать в следующем виде: , при , .

Угол между векторами будет считаться угол , такой, что .

Векторы называются ортогональными, если скалярное произведение равно 0.

В пр-ве .

Свойства ортогональности:

1. Если для любого , то .

2. Если .

, .

11. Теорема о линейной независимости ортогональной системы векторов евклидова пространства.

12. Ортогональный и ортонормированный базис евклидова пространства. Процесс ортогонализации.

Пусть некоторые системы элементов евклидового пространства. Данная система векторов наз. ортогональной, если .

Теорема: всякая система попарно ортогональна ненулевых векторов линейно независима.

Док-во: пусть ортогональная система векторов, покажем, что она линейно независима:

, где . Умножим это равенство скалярно на вектор :(Лена, я тебя очень люблю(твой Сергей))

,

, тогда .

Замечание: если ортогональная система ненулевых векторов содержит n-векторов, где n-размерность пространства, то данная система векторов является базисом пространства. Если кроме того в ортогональном базисе все векторы имеют единую систему, то базис называется ортонормированным. (Лена, я тебя очень люблю(твой Сергей))

Теорема: во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Док-во: пусть какой-нибудь базис. По данному базису будем строить ортонормированный базис .

- выберем (в качестве выберем ).

, число подберем таким образом, чтобы вектор был ортогонален , .

.

, где - такие, что - ортогонален двум предыдущим.

.

.

.

Аналогично получим , .

- такие, что .

Продолжим этот процесс дальше, мы получим ортогональный базис. Такой процесс получения ортогонального базиса наз. процессом ортогонализации. Покажем как из ортогонального базиса получить ортонормированный.

, .

В результате остается ортогональным базисом и все векторы в этом базисе имеют норму (1)

.