11.3. Необхідна умова існування екстремуму.

Означення 11.3. Максимуми і мінімуми функції називають екстремумами або екстремальними значеннями функції.

Сформулюємо необхідну умову існування екстремуму функції.

Теорема 11.3. Якщо диференційована функція має в точці екстремум, то .

Доведення. Нехай в точці функція має максимум. Тоді з означення максимуму випливає, що при малих за абсолютним значенням приростах справедлива нерівність

.

Тому знак відношення

визначається знаком , тобто

при (11.3)

при . (11.4)

За означенням похідної

,

причому значення границі не залежить від того, як прямує до нуля (залишаючись від’ємним чи додатним). А з нерівностей (11.3) і (11.4) виходить, що

(11.5)

Оскільки похідна є певним значенням, то нерівності (11.5) сумісні тільки при .

Аналогічно проводиться доведення для випадку мінімуму функції

Геометричний зміст цієї теореми полягає в наступному (рис. 11.4): якщо в точках максимуму або мінімуму функція має похідну, то дотична до кривої в цих точках горизонтальна. Справді, в цьому випадку , тобто .

Наслідок 11.3. Диференційована на інтервалі функція може набувати екстремуму тільки в тих точках х, де .

Це слідує безпосередньо з теореми 11.3

Зворотній висновок неправильний: не при всіх значеннях аргументу, де похідна функції рівна нулю, існує максимум або мінімум функції.

Приклад 11.2. Похідна функції в точці дорівнює нулю, але в цій точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму (рис. 11.5).

11.4. Достатня умова існування екстремуму.

Ми розглядали функцію, диференційовану на інтервалі. Але екстремум може досягатися і в точках, де похідна не існує.

Приклад 11.3. Розглянемо функцію . Її областю визначення є відрізок , а похідна

не існує в точках . Але в точці задана функція набуває максимуму: (рис. 11.6).

Приклад 11.4. Для функції похідна

не існує при . Але в цій точці функція не має ні максимуму ні мінімуму (рис. 11.7).

Таким чином, функція може набувати екстремуми тільки в точках, де похідна дорівнює нулю або не існує (зазнає розриву).

Означення 11.4. Значення аргументу, при яких похідна функції існує і дорівнює нулю або не існує (зазнає розриву), називаються критичними точками цієї функції.

Згідно з прикладами (11.2)–(11.4), не в усіх критичних точках функція набуває екстремуму.

Теорема 11.4.(достатня умова існування екстремуму). Нехай – критична точка функції , яка є неперервною на інтервалі і диференційованою за всіх значень крім, можливо, точки х₁ .

Тоді,

якщо похідна при переході аргументу через точку х₁ зліва на право міняє свій знак з “+” на “–”, то в точці функція набуває максимуму;

якщо ж знак змінюється з “–” на “+”, то в точці функція набуває мінімуму.

Доведення. Нехай похідна змінює знак з “+” на “–”, тобто для всіх значень х, досить близьких до х₁ маємо:

Треба показати, що .

З умови теореми випливає, що функція неперервна на відрізку (або ) і диференційована на інтервалі (або ), тому за теоремою Лагранжа можна записати

, (11.6)

де z розташоване між х і х₁ .

Для маємо:

, і .

Тому з (11.6) виходить, що . Аналогічно для :

, і ;

тому – . Таким чином, для всіх значень х , досить близьких до х₁ , виконується нерівність , тобто в точці х₁ функція набуває максимуму.

Аналогічно доводиться друга частина теореми – про достатню умову існування мінімуму

11.5. Дослідження функції на екстремум за