2.6. Числа и числовые соотношения

98СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Иесли мы обратим внимание на то, как Платон в «Пармениде» трактует числа, мы увидим следы наглядно-материального представления о характере чисел116. В «Евтифроне» числа получают даже «ноги»:

Если бы ты спросил меня о чем-то таком, — к примеру, какою частью числа будет четное и что оно собой представляет, я ответил бы, что это число, не припадающее на одну ногу, но ровно стоящее на обеих ногах117.

Кстати, такое «осязаемое» представление имеет свои преимущества: основываясь на нем, греки могли «наглядно» доказать ряд интересных соотношений. Если мы, например, представим сумму 1+ 2 + 3-1-4 + 5 в следующем виде:

Показательно также, что Платон удивляется самой возможности сложить два числа: «Я не решаюсь судить даже тогда, когда к единице прибавляют единицу, — то ли единица, к которой прибавили другую, стала двумя, то ли прибавляемая единица и та, к которой прибавляют, вместе становятся двумя через прибавление одной к другой. Пока каждая из них была от­ дельно от другой, каждая оставалась единицей и двух тогда не сущест­ вовало, но вот они сблизились, и я спрашиваю себя: в этом ли именно причина возникновения двух — в том, что произошла встреча, вызванная взаимным сближением?» (Федон. 96е-97а). Этот вопрос Платона, кстати, совсем не наивен; вспомним, что и Дедекинд задавал в своем знаменитом труде этот, казалось бы, простой вопрос: «Что такое числа и для чего они служат?» Там он назвал свои числа «призрачными фигурами», которые читатели, привыкшие к обычным повседневным числам, «вряд ли узнают» (Dedekind. Was sind und was sollen die Zahlen? S. IX).

Евтифрон. 12d. Р. Брамбо полагает, что такое объяснение не отражает собственную теорию чисел Платона: «Это просто уступка Сократа незрелости ума его собеседника» (Brumbaugh. Plato's Mathematical Imagi­ nation. P. 19).

100 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

До сих пор мы говорили о «числах» вообще, но, как писал

118

Аристотель, у Платона мы находим три вида чисел

1)Числа, принадлежащие к чувственному миру — αριθμός αισθητός. Они не стабильны, но возникают и исчезают вместе с предметами. «Каждое животное обладает уникальными качествами

—например, лишь ему присущей величиной или цветом. Точно так же определенная группа животных имеет свои особые качества, например быть "тремя". Подобно тому как цвет животного исчезает

в случае его смерти, возникают и исчезают и числа, характери­ зующие целые группы животных»119.

2)Идеальные числа — αριθμός ειδητικός. Для каждого числа, например «три», существует идея этого числа: это не те «три», которые мы можем сосчитать, а «три само по себе» (нечто похожее мы видим, к примеру, в понятии «красивого», отсылающем нас не к множеству красивых вещей, но к самой «идее красоты»). Остается открытым вопрос, бесконечно ли множество идеальных чисел; по

Аристотель. Метафизика. А, 6, 987Ы4: «Платон утверждал, что помимо чувственно воспринимаемого и эйдосов существуют как нечто про­ межуточное математические предметы, отличающиеся от чувственно воспринимаемых тем, что они вечны и неподвижны, а от эйдосов — тем, что имеется много одинаковых таких предметов, в то время как каждый эйдос сам по себе только один». Интересно, что и современные авторы говорят о трех видах чисел: «Необходимо различать математические, прагматические и компьютерные числа, поскольку их свойства различны. Первые традиционно используются в математике. Их бесконечно много. Вторые получают при записи результатов измерений (наблюдений, испытаний, анализов, опытов). Прагматических чисел — конечное число, как и компьютерных (поскольку существует компьютерный нуль). Тождества для математических чисел не всегда выполняются для прагма­ тических. Расходящийся ряд математических чисел может превратиться в сходящийся для компьютерных» (Орлов, Луценко. О развитии системной нечеткой интервальной математики. С. 190).

Martin. Piatons Lehre von der Zahl und ihre Darstellung durch Aristoteles. S. 193.

Числа и числовые соотношения 101

Аристотелю, Платон признавал идеальными только числа от одного

120

до десяти 3) Математические числа — αριθμός μαθηματικός. Они вечны и

неизменны, как и идеальные числа, но их много. Например, есть много «троек», поэтому мы можем написать равенство «3 + 3 = 6», в котором присутствуют сразу две тройки.

У Платона мы, конечно же, не находим настоящей теории чисел, но есть довольно интересные фрагменты. Приведем не­ которые примеры:

Довольно часто Платон обсуждает и использует в своих рассуж­ дениях существование двух родов чисел: чета и нечета . В диалоге

Аристотель. Физика III. 6, 206Ь32. Число 10 имело у пифагорейцев особен­ ный статус: «Пифагор назвал десятку священной четверицей, в себе самой "имеющей источник и корни вечной природы". Из этого числа получили начало все числа. Действительно, одиннадцать, двенадцать и остальные числа началом своего существования сопричастны десятке. Сама же десятка составляется из единицы, двух, трех и четырех: 1 +2 + 3 + 4 = 10. Десять заключает столько четных чисел (2, 4, 6, 8) сколько и нечетных (3, 5, 7, 9), столько составных (4, 6, 8, 9), сколько и простых (2, 3, 5, 7)» (Раик. Очерки по истории математики в древности. С. 153).

Хармид. 166Ь: «Но разве при этом чет и нечет не являются чем-то отличным от самого искусства счета?»; Евтифрон. 12с: «Стыд ведь есть как бы часть страха, подобно тому как нечетное есть часть числа, однако дело обстоит не так, чтобы там, где было число, было и нечетное; наоборот, где нечетное, там и число»; Парменид. 160а: «Оно было бы причастно и одному, и двум, и трем, и нечетному, и четному...»; Парменид. 164е: «И одно в них покажется четным, другое нечетным, но это противно истине, поскольку единого не существует»; Горгий. 451с: «Искусство счета одинаково с арифметикой: ведь оно обращено на то же самое, на четные и нечетные числа»; Теэтет. 190Ь: «Даже и во сне ты не отваживался себе сказать, что нечетное на самом деле есть четное»; Теэтет. 198а: «Предположи, что арифметика — это охота за всевозможными знаниями четного и нечетного»; Федон. 103е—105а: «Нечетное всегда должно носить то имя, каким я его теперь обозначаю, или не всегда?.. Но одно ли оно из всего существующего — вот что я хочу спросить, — или же есть еще что-нибудь: хоть оно и не то же самое, что нечетное, все-таки кроме своего особого имени должно всегда называться нечетным, ибо по

102 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

«Политик», например, он сравнивает бессмысленное разделение человеческого рода на две части с бессмысленным разделением чисел:

природе своей неотделимо от нечетного? То, о чем я говорю, видно на многих примерах, и, в частности, на примере тройки. Поразмысли-ка над числом "три". Не кажется ли тебе, что его всегда надо обозначать и своим названием, и названием нечетного, хотя нечетное и не совпадает с тройкой? Но такова уж природа и тройки, и пятерки, и вообще половины всех чисел, что каждое из них всегда нечетно и все же ни одно полностью с нечетным не совпадает. Соответственно два, четыре и весь другой ряд чисел всегда четны, хотя полностью с четным ни одно из них не совпадает...»; Федон. 105d: «Что же выходит? Как мы сейчас назвали то, что не принимает идеи четного? — Нечетным»; Федон. 106Ь: «Если бессмертное неуничтожимо, душа не может погибнуть, когда к ней приблизится смерть: ведь из всего сказанного следует, что она не примет смерти и не будет мертвой! Точно так же, как не будет четным ни три, ни [само] нечетное»; Федон. 106с: «И мы не были бы вправе решительно настаивать, что нечетное не погибнет, — ведь нечетное не обладает неуничтожимостью. Зато если бы было признано, что оно неуничтожимо, мы без труда отстаивали бы свой взгляд, что под натиском четного нечетное и три спасаются бегством. То же самое мы могли бы решительно утверждать об огне и горячем, а равно и обо всем остальном»; Гиппий Больший. 302а: «Итак, если каждый из нас один, то, пожалуй, он будет также нечетным; или ты не считаешь единицу нечетным числом? — Считаю. — Значит, и оба вместе мы нечет, хотя нас и двое? — Не может этого быть, Сократ. — Тогда мы оба вместе чет. Не так ли? — Конечно. — Но ведь из-за того, что мы оба вместе — чет, не будет же четом и каждый из нас? — Нет, конечно»; Гиппий Больший. 303b: «И что же мешает, чтобы из двух величин, составляющих вместе четное число, каждая в отдельности была бы то нечетной, то четной»; Государство. 510с: «Я думаю, ты знаешь, что те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде»; Законы. 717а-Ь: «Благочестивой цели, скажем мы, вернее всего достигнет тот, кто прежде всего вслед за почитанием олимпийских богов и богов — охранителей государства будет уделять подземным богам все четное, вторичное и левое, высшие же почести, противоположные перечисленным, следует уделять тем богам, которые были названы первыми»; Законы 818с: «Многого недостает человеку, чтобы стать божественным, если он не может распознать, что такое единица, два, три и вообще, что такое четное и нечетное».

Числа и числовые соотношения 103

...разделить число на два вида и, выделив из всех чисел десять тысяч, представил бы это число как один вид, а всему остальному дал бы одно имя и считал бы из-за этого проз­ вища, что это единый вид, отличный от того, первого. Ведь гораздо лучше и более сообразно с двуделением по видам было бы, если бы разделили числа на четные и нечетные, род же человеческий — на мужской и женский пол122.

В «Пармениде» (143) Платон докажет — хотя для Ведберга это «довольно смутный набросок»123, — что ряд чисел простирается до бесконечности. Дедукция Платона выглядит так:

1.Существует «бытие» и «единое».

2.Значит, существует две вещи, т. е. существует «два».

3.«Два» состоит из двух отдельных членов.

4.При сложении единицы с этими двумя членами получается три.

5.Три — нечетное число, а два — четное.

6.Когда есть два, то есть «дважды», а когда есть три — «трижды» (коль скоро в двух содержится дважды один, а в трех трижды один).

7.А когда есть два и дважды, то есть и «дважды два». И когда есть три и трижды, то есть и «трижды три».

8.Когда есть три и дважды, а также два и трижды, то есть «дважды три» и «трижды два».

9.Следовательно, есть произведения четных чисел на четные, нечетных на нечетные, а также четных на нечетные н нечетных на четные.

10.А если это так, то не остается какого-либа числа, существование которого не необходимо.

11.Следовательно, если существует одно, то необходимо, чтобы существовало и число.

12.А при существовании числа должно быть многое и бесконечная множественность существующего.

Политик. 262d-e.

Wedberg. Plato's Philosophy of Mathematics. P. 23.

104 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Из этой дедукции Платон сделал вывод, что «число оказывается бесконечным по количеству и причастным бытию», т. е. получив­ шаяся в результате конструкция производит числа, четные и не­ четные, и данный процесс не имеет предела1 .

В «Пармениде» (154Ь) Платон приводит следующее уравнение: «Равные величины, будучи прибавлены к неравным, всегда остав­ ляют их различающимися настолько, насколько они различались с самого начала», — сегодня мы бы записали это уравнение в такой форме:

\a-b\ = |(я + л)-(Ь + л)|

В «Пармениде» ( 161 d) есть и следующее утверждение: «Что обладает великостью и малостью, то обладает и равенством, находящимся между ними», т. е. между двумя числами существуют три возможных вида отношений:

а<Ъ а = Ъ а> b

А в «Евтифроне» мы находим первое представление о том, что в наше время называется «элементарной теорией множеств»: «Стыд ведь есть как бы часть страха, подобно тому, как нечетное есть часть числа, однако дело обстоит не так, чтобы там, где было число, было и нечетное; наоборот, где нечетное, там и число»125. Так, если

Платон говорит также о необыкновенных качествах в сфере бесконечного: «Стало быть, любые [члены другого] взаимно другие как множества; они не могут быть взаимно другими как единицы, ибо единого не существует. Любое скопление их беспредельно количественно: даже если кто-нибудь возьмет кажущееся самым малым, то и оно, только что представлявшееся одним, вдруг, как при сновидении, кажется многим и из ничтожно малого превращается в огромное по сравнению с частями, получающимися в результате его дробления» (Парменид. 164d). При этом, конечно, Чернисс прав, когда отмечает, что «в трудах Платона нет последовательной теории бесконечного, как математической, так и физической» (Cherniss. Plato as Mathematician. P. 405). Однако мы и не ожидаем встретить такую «теорию» в трудах Платона.

Евтифрон. 12с.

Числа и числовые соотношения 105

M означает «число» (т. е. все натуральные числа), и U означает «нечетное» (т. е. все нечетные числа), то мы сегодня пишем:

M DU или U СМ

и называем M «множеством», a U «подмножеством». В следующей цитате мы также видим, что у Платона было яркое представление о различных вариантах образования подмножеств: «Если существует вид чего-либо, то он же необходимо будет и частью предмета, видом которого он считается. Часть же вовсе не должна быть необходимо видом»126. Мы выражаем это так: пусть M есть конечное множество, и {U; CM |iE{l,2,3,...,n}}ecTb множество его

подмножеств. Пусть некоторые из этих Ui имеют особенность Е; эти особенные подмножества мы называем U^, и их множество

выглядит как^и^ CM |kE{l,2,3,...,n}}. Тогда каждый U^ является

Ui, но не каждый Uj необходимо является U^.

У Платона также было правильное представление о том, что мы называем сегодня «полной математической индукцией». Ее опреде­ ление звучит так: допустим, что утверждение Ρ верно для числа 1. Если мы можем доказать, что когда Ρ верно для числа п, то Ρ верно также для числа η + 1, тогда Ρ верно для всех чисел. В «Пармениде» (149а-с) Платон представляет этот принцип следующим образом: Допустим, что у нас есть два числа, друг рядом с другом, тогда между ними мы имеем одно соприкосновение, и если у нас есть η чисел, то очевидно, что мы имеем (п - 1) соприкосновений:

1.23.4·-η

/2-1

Из этого можно сделать общий вывод, «что соприкосновений одним меньше сравнительно с числом членов соединения»127.

Политик. 263Ь. Парменид. 149Ь.

106 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Но это далеко не все, что следует сказать о числах. Необходимо вспомнить, что для греков каждое число содержало в себе не только количественные, но и «качественные» свойства. В пифагорейской традиции «числовое богословие» играло особенно важную роль. А. И. Щетников пишет об этом так: «Формирование числового богословия как особого жанра происходит в среде пифагорейцев. Великие математические открытия Пифагора и его последователей связаны с учением о числовых рядах и числовой природе музыкаль­ ной гармонии. Интерес пифагорейцев к природе — это интерес к неизменному и вечно сущему, проявляющему себя в изменчивом мире. Мы сегодня называем это неизменное и вечно сущее зако­ нами природы, пифагорейцы же говорили о разных его сторонах как о божествах. Но боги — это не то же самое, что законы природы: ведь к божеству человек может стремиться, а к законам природы — вряд ли. Первооснову пифагорейского учения как раз и составляло стремление к правильной настройке человеческой души на божест­ венный космический лад; и созерцание чисел и числовой структуры космоса было одной из существенных составляющих этой настройки» . В связи с этим неудивительно, что пифагорейцы детально изучили свойства чисел, особенно чисел до десяти. Приведем один пример: Филон Александрийский знал, что седьмое число во всякой геометрической прогрессии, идущей от единицы, является и квадратом, и кубом129. Сегодня мы легко можем это доказать: любая геометрическая прогрессия, идущая от единицы, пишется как 1, я, а2, а3, а4, а, я6, и седьмой член а является и квадратом, и кубом:

Но без наших алгебраических познаний совершить такие открытия можно лишь путем тщательного интеллектуального созерцания.

Афонасин, Афонасина, Щетников. Пифагорейская традиция. С. 628. Эта подборка содержит некоторые тексты, представляющие такое «числовое богословие», в русском переводе.

Там же. С. 633.